【正文】 積分 ( ) ( ) ( )I f x d y d z g y d z d x h z d x d y?? ? ???,其中 ? 是平行六面體0 , 0 , 0x a y b z c? ? ? ? ? ?的表面并取外側 , ( ), ( ), ( )f x g y h z為 ? 上的連續(xù)函數(shù)。 53 167。 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質 167。 常數(shù)項級數(shù)的審斂法（ 1） 一、根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判斷下列級數(shù)的收斂性： 1. 1 1 1 11 6 6 1 1 1 1 1 6 ( 5 4 ) ( 5 1 )nn? ? ? ? ??? 2.1 ( 2 2 1 )n n n n?? ? ? ? ?? 二、判斷下列級數(shù)的收斂性： 1. 3 4 5 1234 n n?? ? ? ? ? 2. 2 3 4 1238 8 8 89 9 9 9nn?? ? ? ? ? 3.231 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 3 3 n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 三、若級數(shù)1 nn u???收斂于 1，求級數(shù)21 ()nnn uu??? ??的和。 54 四、求級數(shù)221 21( 1)n nnn????? 的和。 五、判別下列級數(shù)的收斂性： 1.31 12n nn????? 2. 111sinn nn??? 3. 112 tan3n nn??? 4. 111 nn a?? ?? ( 0)a? 55 167。 常數(shù)項級數(shù)的審斂法（ 1）（ 2）（ 3） 一、 用比值審斂法判斷下列級數(shù)的收斂性： 1. 312nnn??? 2.12!nnn nn??? 3.1 ( 1)sin 2nn n??? ?? 二、 用根值審斂法判斷下列級數(shù)的收斂性： 1. 2111(1 )4 nnn n?? ?? 2. 212()31nnnn?? ?? 3.1()nn nea???，其中 lim 0nn aa?? ?? 56 三、 判斷下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ 1.11( 1) 2nn n?? ?? 2. 21 ( 1) 2n nnn?? ?? 3. 2( 1)212( 1) !nn nn n??? ?? 四、 設 21 nn a???收斂，證明1nnan???絕對收斂。 57 167。 冪級數(shù) 一、 求下列冪級數(shù)的收斂域： 1.1 ( 1)nnnxn?? ?? 2.12nnnxn??? 3. 13( 1) !nnnnxn?? ?? 4. 21 ( 1) 21nnnxn?? ? ?? 5. 1( 2)nnx n???? 58 二、 設級數(shù)1 ( 1)nnn ax?? ??在 2x?? 處收斂，討論此級數(shù)在 53x??處的斂散性。 三、 利用逐項求導或逐項積分，求下列級數(shù)的和函數(shù)： 1. 211 21nnxn??? ?? 2. 11 ( 1)nn nx? ?? ?? 四、 求級數(shù) 221212 nnnn x? ???? 的和函數(shù)，并求出級數(shù)1212nnn???? 的和。 59 167。 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： 1. 22 cos x? 2.(1 )ln(1 )xx?? ( )4x ?? 4. 0sinx tdtt? 60 二、將下列函數(shù)展開成 ( 1)x? 的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： ( )ax? ( 0)a? 2. 1( 1)xx? 三、將函數(shù)2() 45xfx xx? ??展開成 ( 2)x? 的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間。 61 第十二章 習題課 一、 對于正項級數(shù)1 nn u???， （ 1） 若 1 , 1, 2,nnu u n? ??，1 nn u???是否一定發(fā)散？ （ 2） 若 1 , 1, 2,nnu u n? ??，1 nn u???是否一定收斂？ 62 二、 設正項數(shù)列 ??na 單調減少，并且 ? ?1 1n nn a?? ??發(fā)散，判別111 nn na??????????的斂散性 。 三、判斷下列級數(shù)的收斂性： 1.11nn nn??? 2.1 (1 cos )n n??? ?? 3.21( !)nnnn??? 4.21sin 22nnnn ???? 63 四、討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性： 1. 11 ( 1) ln 1nnnn? ?? ? ?? 2.11 sin ( )n n nn???? ?? 五、求下列冪級數(shù)的收斂域： 1.143nnnn xn???? 2.1( 1)2nnnxn????? 六、求級數(shù)11( 1) !nnnn????? 的和。 七、將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： 1.( 1)arctanxx? 2.222(1 )xx? 64 微積分（二）模擬卷 一、 填空題： 1. tanxy yze x? ，則yz??= . 2. 正項級數(shù)1 nn u???滿足 1 , 1, 2,nnu u n? ??，則1 nn u???的斂散性為 . 3. 設 L 為圓周 229xy??，22()L x y ds??? . 4. 已知向量 ,abc 兩兩互相垂直，且 p a b c? ? ?? ? ? （其中 ,??? 是常數(shù)），則 p? . 5. 設空間區(qū)域 ? 由曲面 22z x y??和 1z? 所圍成，將三重積分 ????? ?dzyxfI ),(化為球面坐標系下的三次積分有 I? . 二、 單項選擇題： 1. 已知 ,ab都是非零向量，且滿足關系式 a b a b? ? ? ，則 （ ） A. 0ab?? B. 0ab?? C. 0ab?? D. 0ab?? 2. 設 0 1x? 是冪級數(shù) 10 ( 1)nnn ax? ?? ??的收斂點，則在 5x?? 處級數(shù)（ ） . A. 發(fā)散 B. 絕對收斂 C. 條件收斂 D. 斂散性不能判定 3. 設 1()z xfx y? ?，其中 ()fu 可導，則 xz?? =（ ） . A. 211()yxfxy?? B. 21(1 ) ( )()xfxyyxfxy???? C. －211()yxfxy?? D. －21(1 ) ( )()xfxyyxfxy???? 4. 設 MN 是從 (1,1)M 沿圓 22( 2) 2xy? ? ? 至點 (2 2,0)N ? 的半圓周，則積分MN ydx xdy??? （ ） . A. 0 B. 1 C. 1? D. 2 5. 兩個圓柱體 2 2 2y z R?? , 2 2 2z x R?? 公共部分的表面積 S 等于（ ） . A． 22 22 0 04R R x Rd x d yRx? ??? B． 22 22 0 016R R x Rd x d yRx? ??? 65 C． 22 22 0 08R R x Rd x d yRx? ??? D． 2222 22 0 4R R xRxRd x d yRx??? ??? 三、計算題： 1. 設方程 ( , ) 0z y z x? ? ? ?，確定 ),( yxzz? ，其中 ),( vu? 可微，求 dz . 2. 修建一座容積為 3Vm 的形狀為長方體的地下倉庫，已知倉頂和墻壁每平方米的造價分別是地面每平方米造價的 2 倍和 3 倍，問如何設計長、寬、高，使它的造價最小 . 四、計算下列積分： 1. 計算D xydxdy??,其中 D 由 201yx? ? ? 圍成 . 2. 設2 ()L y dx yf x dy??與 積 分 路 徑 無 關 ， 其 中 )(xf 連 續(xù) 可 導 ， 且 0)0( ?f ，計算 ( 2 , 4 )2 ( 0 , 1 ) ()y dx yf x dy?? 的值 . 3. 22()x y dS? ???，其中 ? 為錐面 22 yxz ?? 與平面 4z? 所圍成區(qū)域的整個邊界曲面 . 五、求解下列問題： 1. 判定級數(shù)11( 1) sinnn n?? ??的絕對收斂性或條件收斂性 . 2. 將函數(shù)21x展開為 ( 2)x? 的冪級數(shù)，并求出收斂區(qū)間 . 六、求解下列問題： 1. 設正項級 數(shù)1 nn u???、1 nn v???滿足關系式： 11nnnnuuvv???，且1 nn u??