【正文】 曲線在其上任意一點處的切線斜率等于，這曲線是（ ）(A)直線； (B)拋物線； (C)圓； (D)橢圓。下列微分方程：（1），（2），（3）中，線性微分方程是（ ）(A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。曲線經過點，且滿足微分方程，則當時，（ ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)4。已知微分方程有一特解，則此方程通解為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。設是方程的解，若，且，則在點（ ）(A)取得極大值； (B)取得極小值； (C)某鄰域內單調增； (D)某鄰域內單調減。若和是二階齊次線性方程的兩個特解，、為任意常數(shù)，則（ ）(A)是該方程的通解；(B)是該方程的特解；(C)是該方程的解；(D)不一定是該方程的解。曲線經過原點，且在原點處切線與直線平行，而滿足方程，則曲線方程是（ ）(A)；(B)；(C) ；(D) 。1微分方程的特解的形式為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。1微分方程的特解的形式為（ ）(A)； (B)； (C)； (D) 。三、計算解答驗證由方程所確定的函數(shù)是微分方程的通解。求解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。設，為可微函數(shù)，求。已知，曲線積分與路徑無關，求函數(shù)。設都是方程的特解，且不恒等于常數(shù)，證明為方程的通解（其中為任意常數(shù)）。一質量為的質點作直線運動，從速度等于零時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質點又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系數(shù)為），試求此質點的速度和時間的關系。第九章 微分方習題解答一、填空題微分方程的階是指微分方程中含有未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，因此該方程是三階微分方程。該通解中含有兩個任意常數(shù)，可見其所對應的方程應是二階的，對分別求一階和二階導數(shù)得：，三個式子連立消去得，即為所求。另解，直觀看出是某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，而該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征根為，其對應的特征方程為，從而對應的微分方程是。設曲線為，則由題意有：即為所求。對兩邊求導得，解此微分方程得，即，又由可知，代入求得，從而。該方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為，解得特征根，從而通解為。以為根的一元二次方程是，從而對應的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是。（1）錯誤，例如微分方程，該方程只有解，顯然這不是通解。（2）錯誤，例如微分方程，易求得該方程的通解為，又知也是方程的解，顯然不包含在中。（3）錯誤，因為中的不是相互獨立的，事實上，可見該解中只含有一個任意常數(shù)。（4）正確，根據(jù)線性微分方程解的結構理論，由于不相等，所以線性無關且是對應齊次方程的解，從而是對應齊次方程的通解，因此就是該方程的通解。根據(jù)線性微分方程解的結構理論，和是對應齊次線性微分方程的解，又這兩個解是線性無關的，所以是對應齊次線性微分方程的通解，從而是該非齊次線性微分方程的通解方程中不顯含未知函數(shù)，因此作變量代換令，則，代入方程得，變量分離法解此方程得，即，代入初始條件得，于是，兩邊積分得，代入初始條件得，所以所求特解為。1方程不顯含自變量，因此作變量代換時應令，則。1方程是三階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為，解得特征根，從而通解為。二、選擇題選(D)；由定義，含有未知函數(shù)導數(shù)或微分的方程稱為微分方程，而未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，可見，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函數(shù)的導數(shù)，（C）中的未知數(shù)是多元函數(shù)。選(A)；所謂微分方程的階是指微分方程中含有未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，由此，(B)、(D)中方程是一階微分方程，而(C)中的方程是三階微分方程。選(C)；由通解的定義，含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)（相獨立）的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解稱為通解，由此可見，（A）、（B）、（D）均不符合。選(D)；按題意有，即，積分得，可見，該曲線是橢圓。選(C)；方程（1）、（2）可直觀看出不是線性微分方程，對于（3），整理得，視為未知函數(shù)，為自變量，則該方程是線性微分方程。選(B)；方程為一階線性微分方程，其通解由時知，所以曲線為，由此，當時。選(C)；將代入方程，求出，于是方程通解為。選(A)；由為的解，得，即，由極值判定定理知，在點處取得極大值。選(C)；由線性方程解的結構定理，一定是方程的解，當與線性無關時才是方程的通解。選(B)；解方程得其通解為，由得，由得，所以所求曲線為。1選(D)；由特征方程解得特征根，而，可見是特征根單根，所以特解應設為。1選(C)；由特征方程解得特征根，而，可見是特征根，所以特解應設為。三、計算解答解：將兩邊對求導得，整理得， ，可見，由方程所確定的函數(shù)滿足微分方程，又 中含有一個任意常數(shù)，所以由方程所確定的函數(shù)是所給微分方程的通解。（1）解：變量分離得，兩邊積分得，從而方程通解為 。（2）解：整理得，可見該方程是齊次方程，令，即，則，代入方程得，變量分離得，積分得，所以原方程的通解為，或寫為。（3）解：整理得，可見該方程是一階線性方程，利用公式得通解為。（4）解：整理得，這是一階線性方程，利用公式得通解為，代入初始條件得，從而所求特解為。（5）解：整理得，這是伯努利方程， 令，則，代入方程得，這是線性方程，其通解為，所以原方程的通解為 。（6）解：令，則，可見該方程是全微分方程，于是有所以原方程通解為 。（7）解：將方程兩邊逐次積分得，，即原方程通解為。（8）解：方程中不顯含未知函數(shù)，所以可令，則，代入方程得，這是一階線性方程，其通解為，從而，兩邊積分得原方程通解為 。（9）解：方程中不顯含自變量，所以可令，則，代入方程得，整理得，積分得，即，變量分離并積分得，此即為原方程的通解。（10）解：由特征方程解得特征根，所以對應齊次方程的通解為。又因為中不是特征根，所以可設原方程的特解為，代入原方程并整理得，從而，即。所以原方程的通解為。解：將兩邊對求導并整理得，這是一階線性微分方程，所以，又由可知，從而，所以所求。解：因曲線積分與路徑無關，所以有，整理得為一階線性方程，所以，又因，得，所以所求。證明：因為都是方程的特解，所以和都是方程對應齊次方程的解，又因不恒等于常數(shù)，所以和線性無關，從而對應齊次方程的通解為，所以原方程的通解為，即。解：設質點速度和時間的關系為，則由題意有，整理得，這是一階線性方程，從而，由得，所有所求。第十章 無窮級數(shù)（以課件例題為主）第43頁