定積分的性質及計算(參考版)
2025-05-02 06:17本頁面
【正文】 ,d)(d)( 有由積分的性質： ?? ?? abba xxfxxf, d)(d)( ?? ?? xbbx ttfttf所以，我們只需討論積分上限函數(shù) . . d)( 稱為積分下限函數(shù)? bx ttf)( 可變下限的定積分定理 1 證 d)()( ] ) ,([)( ??? xa ttfxpbaRxf 則若 , ],[ , ],[ 則且 baxxbax ?????)()()( xpxxpxp ???????? ???? ??? xxxxaxxa ttfttfttf d)(d)(d)( ,],[ 且連續(xù)、可導在 ba . )( )(d)(d d)( bxaxfttfxxp xa????? ?xxpx ??????)(lim( x )p0? ,d)()( ? ???? xxx ttfxp由 , ] ) ,([)( 得則由積分中值定理如果 baCxf ? , )(d)()( xfttfxp xxx ???? ? ?? ?) ( 之間與在 xxx ???xxpx ??????)(lim( x )p 0故)(lim 0 ?fx ??? 條件xxfx ?????)(lim0?)(xf?定理 2 ] ) ,([)( baCxf ?若 d)()(p ?? xa ttfx則 . b][ a , 上的一個原函數(shù)在區(qū)間是 f ( x )表示原函數(shù)通常也用 d)()(F ?? xa ttfx例 1 ??? ) d ( 2xat te ddd 2? xat tex .2 xe? ?) dc o s ( ??? xa xx定積分與積分變量的記號無關 . )(xF .c o s) dc o s ( xxxxa ???例 2 ) dc o s ( 1 2 ?? ?x tt ) dco s (1 2? ??xttdxd) dco s (12???? x ttdxd) dco s (12???? x ttdxdx2c o s??例 3 . )( , ds i n)( 2 0 xFttxF x ?? ? 求設解 , )()( , dsi n)( , 2 0 2 xgxFttugxu u ??? ? 則令xuugxFux dd)()( ????故xuu xtt )()dsi n( 2 0 ???? ? . s in22s in 2xxxu ???這是復合函數(shù)求導 , 你能由此寫出它的一般形式嗎 ? , 一般地 , )( , )( 則可導若 Cxfx ?? . )())(() d)( ()( )( xxfttfxF xa ??? ?????? ?例 4 解 . dl i m 21 c os 02xtextx? ??計算2c o s 1 021 c o s 0dlimdlim 22xtexte x txxtx?? ??????xxe xx 2)s i n(lim 2c os
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