導數的概念及基本函數的導數(參考版)
2024-11-15 02:10本頁面
【正文】 當 x0=1 時 , y0=12. ∴ 切點坐標為 (1, 8) 或 (1, 12). 切線方程為 y=4x12 或 y=4x8. =(x3+x10)? | x=x0 =3x02+1. 課后練習 5 已知曲線 S: y=x36x2x+6. (1)求 S 上斜率最小的切線方程 。 函數在一點可導 , 直觀反映是函數的圖象在這一點是平滑的 . 課后練習 3 一質點作直線運動 , 它所經過的路程 S(單位 : m)和時間 t(單位 : s)的關系是 S=3t2+t+1. (1)求 [2, ] 這段時間內質點的平均速度 。 (2)當 x?0時 , 求 f(x) 的導數 . 解 : (1)∵ Dy=f(0+Dx)f(0)=|Dx|, Dx Dy Dx?0 Dx?0 + ∴ lim ?lim , Dx Dy Dx?0 Dx Dy 從而 lim 不存在 . 故函數 f(x)=|x| 在點 x=0 處不可導 . (2)當 x0 時 , 可使 x+Dx0. f?(x)=lim =lim Dx f(x+Dx)f(x) Dx?0 Dx |x+Dx||x| Dx?0 =lim Dx (x+Dx)x Dx?0 =1. 同理可得 , 當 x0 時 , f?(x)=1. ∴ = . Dx |Dx| Dx Dy 當 Dx0 時 , =1, lim =1。 (2)求曲線 y=f(x) 在點 P(0, f(0)) 處的切線方程 . x2+x+1, x≤ 0, ax+b, x0. 解 : (1)要使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 則需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x?0 x?0 + 而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x?0 x?0 lim f(x) =lim(ax+b)=b, x?0 + x?0 + 故當 b=1 時 , 可使 f(x) 在 x=0 處連續(xù) . 又 lim =lim Dx Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1](02+0+1) Dx?0 Dx?0 Dx =lim (Dx+1)=1, Dx?0 Dx?0 + lim =lim Dx Dy [a(0+Dx)+b](02+0+1) Dx Dx?0 + =lim aDx+b1 Dx Dx?0 + =a+lim b1 Dx Dx?0 + 故當 b1=0 且 a=1 即 a=b=1 時 , f(x) 在 x=0 處可導 . 綜上所述 , 當 b=1, a?R 時 , f(x) 在 x=0 處連續(xù) , 當 a=b=1 時 , f(x) 在 x=0 處可導 . (2)由 (1)知 , f?(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲線 y=f(x) 在點 P(0, f(0)) 處的切線方程為 y1=x0, 即 xy+1=0. 典型例題 2
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