【正文】 通過(guò)本文可以對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)有著清楚的了解，也就可以看出為何分?jǐn)?shù)階微積分可以應(yīng)用于許多的領(lǐng)域，并逐漸發(fā)展成為一個(gè)非常熱門的研究方向，相信隨著分?jǐn)?shù)階微積分的繼續(xù)發(fā)展，以及科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，更多的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)將會(huì)在在實(shí)際工程中的得到應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分肯定會(huì)越來(lái)越展現(xiàn)其特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，會(huì)越來(lái)越成為實(shí)際工程中不可或缺的理論基礎(chǔ)，繼而也將會(huì)有更多的研究人員投身于此理論的研究，從而形成良性循環(huán)，促進(jìn)分?jǐn)?shù)階微積分的不斷發(fā)展?？梢钥闯鰧?duì)于整數(shù)階的被控對(duì)象，整數(shù)階的控制器可以收獲更好的控制效果[9]。下面我們來(lái)討論一下參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)的影響：(1) 當(dāng)增加kp，取kp增加到8時(shí)，運(yùn)行程序得到如下圖像： kp增加時(shí)被控對(duì)象在階躍輸入下的輸出由圖可知：當(dāng)kp增加時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)作靈敏，響應(yīng)速度加快，但是，kp的增加可導(dǎo)致超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間加長(zhǎng)，振蕩次數(shù)增加，所以kp應(yīng)取適當(dāng)值。例3 首先選取一個(gè)被控對(duì)象，其傳遞函數(shù)如下： () 這里可以取a2=1，a1=，a0=1，β=，ɑ=，由附錄程序2，在這里可以得到此被控對(duì)象的圖像如下所示： 被控對(duì)象在階躍輸入下的輸出如圖所示：可知此被控對(duì)象的調(diào)整時(shí)間太長(zhǎng)，震蕩劇烈，超調(diào)量太大，系統(tǒng)不符合要求，所以必須對(duì)此系統(tǒng)添加控制器來(lái)改善被控對(duì)象的控制效果。設(shè)定被控對(duì)象G(s)為： ()分?jǐn)?shù)階控制器為，由自動(dòng)理論控制方面的知識(shí)這里可以得到此分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下所示： ()上述式子即為在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的PID控制器的控制模型，此控制系統(tǒng)最大的特點(diǎn)就是含有兩個(gè)可以變化的參數(shù)變量，這種變化增加了控制器的控制靈活性，但是隨之也增加了系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及實(shí)施的難度，根據(jù)這一式子這里可以得到此分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程如下所示： ()上式就是此控制器為時(shí)。這兩種是分?jǐn)?shù)階微積分理論在分?jǐn)?shù)階微積分控制系統(tǒng)中的作用。運(yùn)行附錄程序6，可以得到如下圖像： 階躍輸入時(shí)分?jǐn)?shù)階控制器控制的輸出 兩圖進(jìn)行比較，調(diào)節(jié)時(shí)間較小，震蕩次數(shù)減少，系統(tǒng)控制效果更加明顯，由此可以得出：相比與分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階的被控對(duì)象，整數(shù)階的控制器對(duì)整數(shù)階的被控對(duì)象有著更加好的控制效果。下圖就是一個(gè)常見(jiàn)的控制器所控制的被控對(duì)象的控制系統(tǒng)框圖，其中的G(s)為被控對(duì)象，Gc(s)為主回路控制環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為輸出。例1.在第三章的例1中我們介紹了一個(gè)簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)的例子，其傳遞函數(shù)為： ()第三章的時(shí)候分別用數(shù)值解法和解析解法對(duì)這一系統(tǒng)所推導(dǎo)的微分方程進(jìn)行了求解，并分別進(jìn)行了MATLAB編程，作出了系統(tǒng)的輸出的圖像，在第三章中的時(shí)候取的是分?jǐn)?shù)，即用分?jǐn)?shù)階微積分的理論對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行的分析，現(xiàn)在就用整數(shù)階微積分的理論對(duì)這一控制系統(tǒng)進(jìn)行分析。一般情況下，可以用整數(shù)階微積分方程來(lái)描述整數(shù)階控制系統(tǒng)： ()λ和β滿足式子以及式子，并且λ和β都為整數(shù)。下面這里就先來(lái)討論一下整數(shù)階控制系統(tǒng)。 本章小結(jié)因?yàn)樵趯?shí)際中的控制系統(tǒng)大多都是由分?jǐn)?shù)階而不僅僅是由整數(shù)階組成的，而分析這些分?jǐn)?shù)階所組成的系統(tǒng)的重點(diǎn)，就在于分析和求解這些控制系統(tǒng)所推導(dǎo)出來(lái)的分?jǐn)?shù)階微分方程，在本章中我們著重討論了分?jǐn)?shù)階微分方程的兩種求解方法，即數(shù)值解法和解析解法，并通過(guò)一些實(shí)際的例子來(lái)用這兩種方法分別進(jìn)行了分析和求解，通過(guò)對(duì)兩種方法所得到的結(jié)果進(jìn)行分析，得到這兩種方法在求解分?jǐn)?shù)階微分方程時(shí)各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，在以后的學(xué)習(xí)和實(shí)際的工程運(yùn)用時(shí)，可以根據(jù)自己的實(shí)際情況選取合適的方法來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，以獲得更好更快捷的求解效果。例4. 分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法的那一小節(jié)中，介紹了一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解法的例子，在這里我們就運(yùn)用解析解法來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程的求解。(1)當(dāng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 的時(shí)候，其中滿足ɑ0，此系統(tǒng)的微分方程的式子為： ()由式子()在這里可以得到()在脈沖輸入時(shí)此分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解如下所示： ()(2)當(dāng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為的時(shí)候，其中滿足βɑ0，此系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的表達(dá)式子為： () 由式子()在這里可以得到()在脈沖輸入時(shí)此分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解如下所示： ()(3) 當(dāng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 的時(shí)候，其中滿足γβɑ0，此系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的表達(dá)式子為： ()由式子()在這里可以得到()在脈沖輸入時(shí)此分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解如下所示： () 在常見(jiàn)的控制系統(tǒng)的分析和求解實(shí)例中，經(jīng)常會(huì)用到求解分?jǐn)?shù)階微分方程的問(wèn)題，而能更好的分析這些基本控制系統(tǒng)的關(guān)鍵，就在于對(duì)這些微分方程的求解，下面這里就將舉幾個(gè)控制系統(tǒng)中的例子，通過(guò)這些例子中分?jǐn)?shù)階微分方程的求解問(wèn)題的解決，就可以更好的掌握分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解法，而通過(guò)對(duì)這些微分方程的求解有助于下一步更好的分析和求解分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)例3.由之前在分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法的那一小節(jié)中求解了系統(tǒng)傳遞函數(shù)為時(shí)的分?jǐn)?shù)階微分方程的求解問(wèn)題，那時(shí)用的是分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法，在本小節(jié)之中將對(duì)其進(jìn)行解析解法的分析，以此來(lái)觀察數(shù)值解法和解析解法在求解分?jǐn)?shù)階微分方程時(shí)的異同點(diǎn)。在這里如果假設(shè)U(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為此控制系統(tǒng)的輸出，那么根據(jù)之前所學(xué)到的知識(shí)，可以得到上述式子對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分方程如下所示： ()由之前在第二章所介紹的拉普拉斯變換的知識(shí)，對(duì)上述式子進(jìn)行拉普拉斯變換，在這里可以得到函數(shù)G(s)的原函數(shù)如下所示： ()其中為參數(shù)系數(shù)的表達(dá)式，而滿足式子。而滿足式子 ()通過(guò)上式的遞推關(guān)系式子，在這里可以在MATLAB中編寫程序，程序見(jiàn)附錄程序3 ，在這里取a2=，a1=，a0=1，β=，ɑ=，Kp=，Kd=，t=5,h=。而滿足式子 ()通過(guò)上式的遞推關(guān)系式子，在這里可以在MATLAB中編寫程序，程序見(jiàn)附錄程序2，在這里如果取a2=，a1=，a0=1，β=，ɑ=；t=10，h=。在控制系統(tǒng)的分析求解實(shí)例中經(jīng)常會(huì)用到求解分?jǐn)?shù)階微分方程的問(wèn)題，而能更好的分析這些控制系統(tǒng)的關(guān)鍵，就在于對(duì)這些微分方程的求解，下面這一小節(jié)就將舉幾個(gè)控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的例子，通過(guò)這些例子中分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，可以更好的掌握分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法，而通過(guò)對(duì)這些微分方程的求解有助于下一步在實(shí)際中更好的求解和分析分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)。通過(guò)之前章節(jié)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分定義的學(xué)習(xí)及理解，對(duì)于式子()，在這里可以變換為如下的形式 ()在上述式子中m為正整數(shù)，函數(shù)y(t)的初始值為零，即為滿足y(0)=0，h為此分?jǐn)?shù)階微分方程的步長(zhǎng)，m和t及h的關(guān)系為：，而。對(duì)于分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，不管是連續(xù)的還是離散的，這些分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)建模用的分?jǐn)?shù)階微積分方程一般情況下都是用數(shù)值解法來(lái)求解的，現(xiàn)在在求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法中，已經(jīng)出現(xiàn)很多種的近似數(shù)值算法，包括曲線的擬合，連續(xù)的分?jǐn)?shù)擴(kuò)展等方法。在這里將式子()代入式子()和()之中就可以證明式子()就是原方程的解。關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的解有常見(jiàn)并且很重要的定理，即為解的存在性和唯一性定理，下面就簡(jiǎn)單地介紹一下這一定理。分?jǐn)?shù)階微分方程有多種的表達(dá)形式，其中在工程實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中常見(jiàn)的就是線性定常系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)通用表達(dá)式如下： ()在上式子中，參數(shù)變量λ和β為任意的正實(shí)數(shù)，當(dāng)在這里來(lái)假設(shè)λ和β滿足式子以及式子，這樣的假設(shè)同樣滿足分?jǐn)?shù)階微分方程成立的條件，系數(shù)a和b都是任意的常數(shù)，u(t)為此系統(tǒng)的出入函數(shù)，y(t)是此系統(tǒng)的輸出函數(shù)。盡管描述模型的多種多樣，但是通常在實(shí)際的工程實(shí)際及實(shí)際操作中，人們總是運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)表示描述系統(tǒng)，通過(guò)分?jǐn)?shù)階微分方程表示的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，可以讓人們比較清晰的分析分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的運(yùn)行及實(shí)際操作情況。 sin(t)函數(shù)的1階微分圖像當(dāng)p從變化時(shí)圖像也在變化，當(dāng)p=，圖像為：圖 sin(t)由上圖可知，圖像的幅值降低，：圖 sin(t)函數(shù)的各階微分圖像對(duì)比當(dāng)p取負(fù)值時(shí)，求出的圖像即為函數(shù)sin(t)的分?jǐn)?shù)積分曲線， ，函數(shù)sin(t)的分?jǐn)?shù)積分曲線為：圖 sin(t)函數(shù)的各階積分圖像對(duì)比 分?jǐn)?shù)階微積分理論研究的就是求解函數(shù)的微分和積分，在求解函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算的時(shí)候，通常會(huì)用到一些基本的數(shù)學(xué)函數(shù)，MittagLeffler函數(shù)和Bata函數(shù)及其Gamma函數(shù)，同時(shí)還會(huì)用到拉普拉斯變換和這種數(shù)學(xué)中常用的運(yùn)算工具。本小節(jié)在這里就將通過(guò)對(duì)特殊的三角函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)間接驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階理論。同時(shí)，在本文中，在對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分方程的求解方面，會(huì)特別用到拉普拉斯變換方面的知識(shí)。 拉普拉斯變換拉普拉斯變換是在工程數(shù)學(xué)中是非常常用常見(jiàn)的一種積分變換形式，是由拉普拉斯在18世紀(jì)初提出的，我們一般簡(jiǎn)稱為拉氏變換。 分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì) 根據(jù)以上分?jǐn)?shù)階定義式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在這里可以得到分?jǐn)?shù)階微積分的如下性質(zhì)：(1) 整數(shù)階微分只和這一點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，而分?jǐn)?shù)階微，分不僅僅與這一點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，還和函數(shù)的初始狀態(tài)及之前時(shí)刻的所有狀態(tài)都有關(guān)。 Caputo定義Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義的形式和RiemannLiouville定義的積分定義形式相差不大，但是微分就有一些差別，二者的微分運(yùn)算順序是相反的。 如果函數(shù)f(t)滿足這一條件，其中k為任意的正實(shí)數(shù)，那么對(duì)于任意的，在這里有以下的性質(zhì)： ()RL定義和Gr252。nwaldLetnikov定義是由Letnikov在1868年提出的，他把函數(shù)傳統(tǒng)整數(shù)階次的積分形式推廣擴(kuò)展到 分?jǐn)?shù)形式，下面大致給出這一定義的基本的推導(dǎo)過(guò)程：在這里可以假設(shè)一個(gè)函數(shù)f(t),設(shè)函數(shù)f(t)可導(dǎo)的，那么通過(guò)之前學(xué)習(xí)到的理論在這里可以比較容易的得到函數(shù)的一階，二階還有三階導(dǎo)數(shù)的形式： () () ()由以上式子以此類推在這里可以得到函數(shù)的n次階導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)形式為： ()在上面的式子中的是一種遞推系數(shù)的表達(dá)式，它的函數(shù)形式可以由下面的式子表示： ()當(dāng)ɑ為負(fù)數(shù)形式的時(shí)候，就可以得到以下的表達(dá)式： ()由以上的推導(dǎo)加之根據(jù)式子()，在這里可以得到函數(shù)f(t)的n階次的積分定義的形式表達(dá)式子如下： ()對(duì)于式子()和 ()，如果將之推廣到一般形式，將以上式子中的n推廣到任意的正實(shí)數(shù)，同時(shí)在這里設(shè)定參數(shù)ɑ是微積分操作算子的下限，參數(shù)t為微積分操作算子的上限。 分?jǐn)?shù)階微積分的定義與整數(shù)階微積分不同的是，分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)際