【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 azyx ??? 上)0( ahhz ＜＜? 部分 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 10 解 ???????????? ????? z dSy dSx dSdSzyx )( 因?yàn)榍?? 關(guān)于坐標(biāo)面 0?x 對(duì)稱，且 x 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)，由上定理知 0???? xdS 因?yàn)榍?? 關(guān)于坐標(biāo)面 0?y 對(duì)稱，且 y 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)，由上定理知 0???? ydS 又因?yàn)?)(1 222222222 haadx dyyxa xyxaz dS D ???????? ????? ?， 則 )()(00)(2222 haahaadSzyx ??????????? ?? 第一類曲面積分輪換對(duì)稱性的定理如下 定理 [12] 設(shè)分片光滑曲面 ? 關(guān)于 zyx , 存在輪換對(duì)稱性，并且 ),( zyxf 在 ? 上有定義且可積，即 ????????? ?? dSyxzfdSxzyfdSzyxf ),(),(),( 例 求第一類曲面積分 ?? ??S dSzyxx )26(2224， S 為 3222 ??? zyx 。 解 由題意知 S 關(guān)于 zyx , 有輪換對(duì)稱性，則 ?? ???? ??S SS dSzdSydSx222 ?????? ????? SSS dSyxzdSxzydSzyx )2()2()2( 224224224 則 ?1089)(31)(2)]2()2()2[(31)(2)26(22222222242242242222224???????????????????????????????SSSSSsdSdSzyxdSzyxdSyxzxzyzyxdSzyxdSzyxx 對(duì)稱性在第二類曲面積分運(yùn)算中的應(yīng)用 第二類曲面積分類似于第二類曲線積分，根據(jù)其定義及物理背景，推導(dǎo)出對(duì)稱性在第二類曲面積分中的結(jié)論。 定理 [14] 設(shè)積分曲面 ? 光滑或分段光滑，且 21 ????? ，曲面 1? 和 2? 的法線方向相反，若曲面 1? 、 2? 關(guān)于 xoy 平面對(duì)稱，則 （ 1） 若 ),(),( zyxRzyxR ?? ，則 0),( ???? dxdyzyxR； （ 2） 若 ),(),( zyxRzyxR ?? ,則 ?????? ? dx dyzyxRdx dyzyxR ),(2),(， 1? 為 ? 的0?z 的部分。 輪換對(duì)稱性定理在第二類曲面積分中如下： 皖西學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 定理 [13] 設(shè)積分曲面 ? 光滑或分段光滑，函數(shù) ),( zyxP 在曲面 ? 上有定義和可積，若積分曲面∑關(guān)于 zyx , 有輪換對(duì)稱性，則 ?????? ??? ?? dx dyyxzPdz dxxzyPdy dzzyxP ),(),(),( 小結(jié)： 通過(guò)上述相關(guān)定理、定義的陳述和證明，我們可以把與積分相關(guān)的對(duì)稱性統(tǒng)一成一個(gè)形式。 現(xiàn)將被積函數(shù)用 )(Pf 表示，積分區(qū)域記為 ? ，在 ? 區(qū)域上 )(Pf 在的積分記為?? ?dPf ）( ，相關(guān)定 理如下。 定理 [15] 設(shè) )(Pf 是定義為 ? 上的連續(xù)函數(shù)，且 ? 具有某種對(duì)稱性，記 P 的對(duì)稱點(diǎn)為 39。P ，則 （ 1） 若 0)(),()39。( ?????? ?? ?dPfPfPfP 則，有； （ 2） 若 ???? ????? 1 )(2)(),()39。( ?? dPfdPfPfPfP 則，有； 1? 為 ? 的一半。 （ 3） ???? ? ?? dPfdPf )39。()(。 （注：上述定理在第二類曲線積分、第二類曲面積分領(lǐng)域中無(wú)效） 以下是當(dāng)積分區(qū)域不具有對(duì)稱性時(shí)，可以用下面方法轉(zhuǎn)化為具有對(duì)稱性的區(qū)域。 方法一 重新劃分區(qū)域，構(gòu)造對(duì)稱性 當(dāng)積分區(qū)域不對(duì)稱時(shí)，可以將積分局域重新進(jìn)行分割劃分，使得每個(gè)小區(qū)域都具有對(duì)稱性，從而在劃分的每個(gè)小區(qū)域使用上述的方法進(jìn)行運(yùn)算求和。 例 計(jì)算 ???D xydxdyI，其中 D是由 y=2x,y=2,x=1圍城的平面區(qū)域。 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 12 解： 為使用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)整個(gè)區(qū)域 D 重新劃分為 1D 和 2D , 1D 是 xy 2?? 上方的部分， 2D 是直線 xy 2?? 下方的部分，易知 1D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱， 2D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱， yx,關(guān)于 x 和 y 為奇函數(shù)。則 00021?????? ?????? DDD x y dx dyx y dx dyx y dx dyI 方法二 平移變換構(gòu)造對(duì)稱性 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于某條坐標(biāo)軸平行時(shí)，可以通過(guò)平移坐標(biāo)軸或積分區(qū)域，使得 積分區(qū)域變?yōu)閷?duì)稱性區(qū)域，可以使得計(jì)算簡(jiǎn)化。 例 求解 ?? ???D dxdyyxI )2(22，其中 D： yyx 222 ?? 解：已知積分區(qū)域不存在對(duì)稱性，平移變換 1??yY ， D 的方程變?yōu)?122 ??Yx ，則 ???? ????? DD Y dx dYdx dYYxI 2]2)1([ 22 ， D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱， Y2 是關(guān)于 Y 的奇函數(shù)，由定理 ， 0)2(22 ???? ??D dx dyyxI 結(jié)束語(yǔ) 求解積分過(guò)程中，可以通過(guò)使 用輪換對(duì)稱性、被積函數(shù)的奇偶性、積分區(qū)域的對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。在應(yīng) 用對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分 計(jì)算 時(shí)， 被積表達(dá)式 必須同時(shí)滿足被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面的條件。本文總結(jié)了幾類積分領(lǐng)域的的對(duì)稱性定理，以及在這幾個(gè)方面的應(yīng)用形式。對(duì)于不能直接運(yùn)用對(duì)稱性簡(jiǎn)化 積分運(yùn)算的，也介紹了幾種 將非對(duì)稱性變換為對(duì)稱性求解的 方法。 參考文獻(xiàn) : [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析上冊(cè) [M] 北京：高等教育出版社。 1991 [2] 程希旺 對(duì)稱心在曲面積分和曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用 [J] 2022(10） [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析下冊(cè) [M] 北京：高等教育出版社。 1991 [4]華東六省工科數(shù)學(xué)系列編委會(huì) 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū) [M] 沈陽(yáng)科學(xué)技術(shù)出版社 1991 [5]孫欽福 二重積分的對(duì)稱性定理及應(yīng)用 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào) [J] 2022:29:910 [6]孫仁華 二重積分計(jì)算中的若干技巧 [J] 湖南冶煉職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) 2022:8（ 2）： 102104 [7]陳云新 輪換對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用 [J] 高等數(shù)學(xué)研究 2022（ 4）： 2931 [8]王憲杰 對(duì)稱區(qū)域上二重積分和三重積分的計(jì)算 [J] 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2022（ 4）： 6566 [9]梁應(yīng)仙等 對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用 [J] 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào) （ 4） 100101 皖西學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 [10]劉渭川 利用對(duì)稱性計(jì)算曲線積分與曲面積分 [J] 河南科學(xué) （ 6）： 810812 [11]王慧等 對(duì)稱 性在兩類積分曲線積分中的應(yīng)用 [J] 淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào) 2022.（ 32）： 4 [12劉富貴等 利用對(duì)稱性計(jì)算第二類曲線積分與曲面積分的方法 [J] 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào) （ 6） [13]張霞 關(guān)于曲面積分對(duì)稱性的研究 [J] 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） （ 2） 8386 [14]嚴(yán)水傳 關(guān)于對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用補(bǔ)遺 [J] 高等數(shù)學(xué)研究 2022（ 5）： 2831 [15]李久平 廣義對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用 工科數(shù)學(xué) （ 3）： 9799 致謝 我的該篇畢業(yè)論文是在邵 毅書(shū)記的細(xì)心指導(dǎo)下完成的，邵書(shū)記和藹的態(tài)度和博學(xué)的知識(shí)給了我很大的鼓舞和幫助，他認(rèn)證嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和愛(ài)崗敬業(yè) 的 精神 對(duì)我產(chǎn)生了深遠(yuǎn) 的影響，在此我向他表示衷心的謝意 ！ 感謝所有的老師，沒(méi)有你們授予的知識(shí)的積累，我完成這篇論文的過(guò)程就不會(huì)有那么大的信心和動(dòng)力。 最后，我 向所有評(píng)閱老師表達(dá)我衷心的感謝 ！ 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 請(qǐng)刪除以下內(nèi)容， O(∩ _∩ )O 謝謝?。?！ The origin of taxation in the United States can be traced to the time when the colonists were heavily taxed by Great Britain on everything from tea to legal and business documents that were required by the Stamp Tax. The colonists39。 disdain for this taxation without representation (socalled because the colonies had no voice in the establishment of the taxes) gave rise to revolts such as the Boston Tea Party. However, even after the Revolutionary War and the adoption of the . Constitution, the main source of revenue for the newly created states was money received from customs and excise taxes on items such as carriages, sugar, whiskey, and snuff. Ine tax first appeared in the United States in 1862, during the Civil War. At that time only about one percent of the population was required to pay the tax. A flatrate ine tax was imposed in 1867. The ine tax was repealed in its entirety in 1872. Ine tax was a rallying point for the Populist party in 1892, and had enough support two years later that Congress passed the Ine Tax Act of 1894. The tax at that time was two percent on individual ines in exce