【正文】 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題 目： 對(duì)稱性在簡(jiǎn)化積分運(yùn)算中的應(yīng)用 學(xué)生 姓名 ： 學(xué) 號(hào)： 所在 學(xué) 院 ： 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院 專業(yè) 班 級(jí) ： 應(yīng)數(shù) 1001 班 屆 別： 指 導(dǎo) 教 師 ： 目 錄 前言 ...................................................................... 2 .................................................. 2 ................................................... 2 .............................................. 3 ........................................... 3 ....................................... 4 ............................................ 5 在第一類曲線積分中的應(yīng)用 ..................................... 5 對(duì)稱性在第二類曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用 ................................ 6 ............................................ 9 應(yīng) 用 ................................. 9 對(duì)稱性在第二類曲面積分運(yùn)算中的 應(yīng) 用 ............................... 10 ......................................... 11 結(jié)束語(yǔ) ................................................................... 12 參考文獻(xiàn) : ................................................................ 12 皖西學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 對(duì)稱性在簡(jiǎn)化積分運(yùn)算中的應(yīng)用 摘 要： 在計(jì)算積分中，恰當(dāng)?shù)氖褂幂啌Q對(duì)成性和對(duì)稱性，以及奇偶性都可以簡(jiǎn)化計(jì)算。本文主要結(jié)合實(shí)例闡述對(duì)稱性在化簡(jiǎn)幾類積分計(jì)算中的妙用。具體總結(jié)平移變換和區(qū)域劃分方法來(lái)構(gòu)造對(duì)稱性。 關(guān)鍵字： 對(duì)稱性；奇偶性；定積分；曲線積分；曲面積分 Symmetry In The Integral Calculation Abstract ： In calculating of the calculus , proper use translatable symmetry、 symmetry and parity can simplify the calculation . This paper mainly use example to elaborated symmetry in the simplify the calcalation .Specific summarize parallel moving transformation and divide the area to construct symmetry. Keywords:Symmetry。 parity。 definite integral。curve points。 surface integrals 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 2 前言 微積分是高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。 在 很多 復(fù)雜的微積分證明和計(jì)算過(guò)程中， 尤其是涉及多元微積分問(wèn)題 ,常規(guī)的方法 很難解決 ，恰當(dāng)?shù)睦梅e分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可以大大簡(jiǎn)化 積分計(jì)算。 積分計(jì)算中 ,有很多積分區(qū)域存在對(duì)稱性的問(wèn)題 .合理、恰當(dāng)?shù)睦闷渌哂械膶?duì)稱性的性質(zhì)，則可以使其計(jì)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化 ,甚至有些問(wèn)題直接可以判斷出其結(jié)果 .當(dāng)積分形式不具有對(duì)稱性時(shí)，有時(shí)可以通過(guò)變換積分的區(qū)域形成對(duì)稱。 本文具體總結(jié)平移變換和區(qū)域劃分等方法來(lái)構(gòu)造對(duì)稱性，從而達(dá) 到簡(jiǎn)化積分 計(jì)算 的效 果。 本文主要結(jié)合實(shí)例闡述對(duì)稱性在簡(jiǎn)化定積分、 二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分計(jì)算中的妙用。 相關(guān)定理及其應(yīng)用 定理 【 1】 設(shè) )(xf 在區(qū)間 a][a, 可積： （ 1） 若 )(xf 為奇函數(shù)，則 0)( ???dxxfaa； （ 2） 若 )(xf 為偶函數(shù)，則 ???? aaadxxfdxxf0)(2)( 例 ：計(jì)算積分 ??? ????????????????? xdxxdxd c os1)c os (1c os120其中 xxf cos2 1)( ?? 為偶函數(shù)，則 ?????????????? ????????? 020 c os12c os1)c os (1c os1 xdxxdxxdxd 令 tx?2tan ，則323a rc t a n314314121412122c o s22 0020 220 220?? ??????????????????????? ????ttdtdttttdttttxdx 在定積分的計(jì)算中，當(dāng)積分區(qū)間為任意有限區(qū)間 b][a, 時(shí)，該積分區(qū)間一定關(guān)于直線 )(21 bax ?? 對(duì)稱，由此我們可得以下出定理。 皖西學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 定理 [4] 設(shè) f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 ?? ??? babadxxbafdxxf )()( 例 計(jì)算定積分 dxxx x? ??? ?42 )3ln()9ln()9ln( 解： 令)3ln()9ln( )9ln()( xx xxf ??? ??，則)9ln()3ln( )3ln()6( xx xxf ??? ???由定理 知 121)]6()([21)(424242????? ??? dxdxxfxfdxxf 以上是對(duì)稱性在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 ，可以得出對(duì)稱性可以大大的簡(jiǎn)化定積分的運(yùn)算。 對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用 相關(guān)定理及應(yīng)用 定理 [3][5] 若 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱， D1位于 x 軸上半部分，當(dāng)函數(shù) ),( yxf 是關(guān)于 y的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ??? 時(shí)， 0),( ???D dxdyyxf；當(dāng)函數(shù) ),( yxf 是關(guān)于 y的偶函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時(shí)， ???? ?1),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 定理 [5] 若 D 關(guān)于 y軸對(duì)稱， D2位于 y軸右半部份， 當(dāng)函數(shù) f(x,y)是關(guān)于 x的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時(shí)： 0),( ???D dxdyyxf； 當(dāng)函數(shù) f(x,y)是關(guān)于 x的偶 函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時(shí)：???? ? 2 ),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 。 定理 [6] 若區(qū)域 D為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中 D3為 D中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的右側(cè)。 當(dāng) ),( yxf 為奇函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ???? 時(shí)，有 0),( ???D dxdyyxf 當(dāng) ),( yxf 為偶函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ??? 時(shí)，有 ???? ?3),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 推論 1 設(shè) D是有界平面區(qū)域，函數(shù) ),( yxf 在平面內(nèi)連續(xù)，且 D關(guān)于 x軸、 y軸對(duì)稱，則 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 4 （ 1）若函數(shù) ),( yxf 關(guān)于變量 x、 y都是偶函數(shù)，則???? ? 1 ),(4),( DD dyxfdyxf ?? ， }0,0),{(1 ???? yxDyxD （ 2）若函數(shù) ),( yxf 關(guān)于 其中一個(gè)變量 x或者變量 y為奇函數(shù)，則 0),( ???D dyxf ? 為方便敘述，以下為輪換對(duì)稱性的定理和定義： 定理 [7] 設(shè)函數(shù) ),( yxf 在 xoy平面上的有界區(qū)域 D上連續(xù)，且 D關(guān)于 x,y存在輪換對(duì)稱性，則 ???? ?DD dxyfdyxf ?? ）,(),( 定義 [7] 設(shè) D 為一有界可度量平面區(qū)域（或光滑平面曲線段），若DxyDyx ???? ),(,),( ，則稱區(qū)域 D（或光滑平面曲線段）關(guān)于 x,y具有輪 換對(duì)稱性。 例 設(shè)區(qū)域 D 由 x=0,y=0,x+y=1圍城，求 ????? D dyfxf ybfxafI ?)()( )()( 解 由題意得，變量 x,y互換，積分區(qū)域區(qū)域 D不變 則 ?????????? DD yfxf ybfxafdyfxf xbfyafI )()( )()()()( )()( ? 所以 )(4121)(21)(21)(21)(21)()()()()()(21bababadbadbadyfxfxbfyafybfxafIDDD?????????????????????????? 對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用 三重積分應(yīng)用對(duì)稱性定理如下： 定理 [8] 設(shè)函數(shù) ),( zyxf 是定義在空間有界閉區(qū)間區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù)，且Ω關(guān)于坐標(biāo)平面 0?x 對(duì)稱，則 （ 1） 若 ),( zyxf 是關(guān)于變量 x 的奇函數(shù)，則 0),( ????? dVzyxf； 皖西學(xué)院 2022屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 （ 2） 若 ),( zyxf 是關(guān)于變量 x 的偶函數(shù)，則 ???????? ? 1 ),(2),( dVzyxfdVzyxf。 其中 1? 是 ? 的前半部分， }0),({1 ????? xzyx 同理可寫(xiě)出 ? 關(guān)于坐標(biāo)平面 )0(0 ?? zy 或 對(duì)稱時(shí)的情形 相似于二重積分，得出