【正文】 畢業(yè)設計（論文） 題 目： 對稱性在簡化積分運算中的應用 學生 姓名 ： 學 號： 所在 學 院 ： 金融與數(shù)學學院 專業(yè) 班 級 ： 應數(shù) 1001 班 屆 別： 指 導 教 師 ： 目 錄 前言 ...................................................................... 2 .................................................. 2 ................................................... 2 .............................................. 3 ........................................... 3 ....................................... 4 ............................................ 5 在第一類曲線積分中的應用 ..................................... 5 對稱性在第二類曲線積分計算中的應用 ................................ 6 ............................................ 9 應 用 ................................. 9 對稱性在第二類曲面積分運算中的 應 用 ............................... 10 ......................................... 11 結束語 ................................................................... 12 參考文獻 : ................................................................ 12 皖西學院 2022屆本科畢業(yè)設計（論文） 1 對稱性在簡化積分運算中的應用 摘 要： 在計算積分中，恰當?shù)氖褂幂啌Q對成性和對稱性，以及奇偶性都可以簡化計算。本文主要結合實例闡述對稱性在化簡幾類積分計算中的妙用。具體總結平移變換和區(qū)域劃分方法來構造對稱性。 關鍵字： 對稱性；奇偶性；定積分；曲線積分；曲面積分 Symmetry In The Integral Calculation Abstract ： In calculating of the calculus , proper use translatable symmetry、 symmetry and parity can simplify the calculation . This paper mainly use example to elaborated symmetry in the simplify the calcalation .Specific summarize parallel moving transformation and divide the area to construct symmetry. Keywords:Symmetry。 parity。 definite integral。curve points。 surface integrals 對稱性在積分運算中的應用 2 前言 微積分是高等數(shù)學中的難點和重點。 在 很多 復雜的微積分證明和計算過程中， 尤其是涉及多元微積分問題 ,常規(guī)的方法 很難解決 ，恰當?shù)睦梅e分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可以大大簡化 積分計算。 積分計算中 ,有很多積分區(qū)域存在對稱性的問題 .合理、恰當?shù)睦闷渌哂械膶ΨQ性的性質，則可以使其計算過程得到簡化 ,甚至有些問題直接可以判斷出其結果 .當積分形式不具有對稱性時，有時可以通過變換積分的區(qū)域形成對稱。 本文具體總結平移變換和區(qū)域劃分等方法來構造對稱性，從而達 到簡化積分 計算 的效 果。 本文主要結合實例闡述對稱性在簡化定積分、 二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分計算中的妙用。 相關定理及其應用 定理 【 1】 設 )(xf 在區(qū)間 a][a, 可積： （ 1） 若 )(xf 為奇函數(shù)，則 0)( ???dxxfaa； （ 2） 若 )(xf 為偶函數(shù)，則 ???? aaadxxfdxxf0)(2)( 例 ：計算積分 ??? ????????????????? xdxxdxd c os1)c os (1c os120其中 xxf cos2 1)( ?? 為偶函數(shù)，則 ?????????????? ????????? 020 c os12c os1)c os (1c os1 xdxxdxxdxd 令 tx?2tan ，則323a rc t a n314314121412122c o s22 0020 220 220?? ??????????????????????? ????ttdtdttttdttttxdx 在定積分的計算中，當積分區(qū)間為任意有限區(qū)間 b][a, 時，該積分區(qū)間一定關于直線 )(21 bax ?? 對稱，由此我們可得以下出定理。 皖西學院 2022屆本科畢業(yè)設計（論文） 3 定理 [4] 設 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 ?? ??? babadxxbafdxxf )()( 例 計算定積分 dxxx x? ??? ?42 )3ln()9ln()9ln( 解： 令)3ln()9ln( )9ln()( xx xxf ??? ??，則)9ln()3ln( )3ln()6( xx xxf ??? ???由定理 知 121)]6()([21)(424242????? ??? dxdxxfxfdxxf 以上是對稱性在定積分計算中的應用 ，可以得出對稱性可以大大的簡化定積分的運算。 對稱性在二重積分中的應用 相關定理及應用 定理 [3][5] 若 D 關于 x 軸對稱， D1位于 x 軸上半部分，當函數(shù) ),( yxf 是關于 y的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ??? 時， 0),( ???D dxdyyxf；當函數(shù) ),( yxf 是關于 y的偶函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時， ???? ?1),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 定理 [5] 若 D 關于 y軸對稱， D2位于 y軸右半部份， 當函數(shù) f(x,y)是關于 x的奇函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時： 0),( ???D dxdyyxf； 當函數(shù) f(x,y)是關于 x的偶 函數(shù)，即 ),(),( yxfyxf ?? 時：???? ? 2 ),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 。 定理 [6] 若區(qū)域 D為關于原點對稱，其中 D3為 D中關于原點對稱的右側。 當 ),( yxf 為奇函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ???? 時，有 0),( ???D dxdyyxf 當 ),( yxf 為偶函數(shù)即 ),(),( yxfyxf ??? 時，有 ???? ?3),(2),( DD dx dyyxfdx dyyxf 推論 1 設 D是有界平面區(qū)域，函數(shù) ),( yxf 在平面內連續(xù)，且 D關于 x軸、 y軸對稱，則 對稱性在積分運算中的應用 4 （ 1）若函數(shù) ),( yxf 關于變量 x、 y都是偶函數(shù)，則???? ? 1 ),(4),( DD dyxfdyxf ?? ， }0,0),{(1 ???? yxDyxD （ 2）若函數(shù) ),( yxf 關于 其中一個變量 x或者變量 y為奇函數(shù)，則 0),( ???D dyxf ? 為方便敘述，以下為輪換對稱性的定理和定義： 定理 [7] 設函數(shù) ),( yxf 在 xoy平面上的有界區(qū)域 D上連續(xù)，且 D關于 x,y存在輪換對稱性，則 ???? ?DD dxyfdyxf ?? ）,(),( 定義 [7] 設 D 為一有界可度量平面區(qū)域（或光滑平面曲線段），若DxyDyx ???? ),(,),( ，則稱區(qū)域 D（或光滑平面曲線段）關于 x,y具有輪 換對稱性。 例 設區(qū)域 D 由 x=0,y=0,x+y=1圍城，求 ????? D dyfxf ybfxafI ?)()( )()( 解 由題意得，變量 x,y互換，積分區(qū)域區(qū)域 D不變 則 ?????????? DD yfxf ybfxafdyfxf xbfyafI )()( )()()()( )()( ? 所以 )(4121)(21)(21)(21)(21)()()()()()(21bababadbadbadyfxfxbfyafybfxafIDDD?????????????????????????? 對稱性在三重積分計算中的應用 三重積分應用對稱性定理如下： 定理 [8] 設函數(shù) ),( zyxf 是定義在空間有界閉區(qū)間區(qū)域Ω上的連續(xù)函數(shù)，且Ω關于坐標平面 0?x 對稱，則 （ 1） 若 ),( zyxf 是關于變量 x 的奇函數(shù)，則 0),( ????? dVzyxf； 皖西學院 2022屆本科畢業(yè)設計（論文） 5 （ 2） 若 ),( zyxf 是關于變量 x 的偶函數(shù)，則 ???????? ? 1 ),(2),( dVzyxfdVzyxf。 其中 1? 是 ? 的前半部分， }0),({1 ????? xzyx 同理可寫出 ? 關于坐標平面 )0(0 ?? zy 或 對稱時的情形 相似于二重積分，得出