【導(dǎo)讀】師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加。而使用過的材料。均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文。不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大學(xué)可以將本學(xué)位。印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。程序清單等），文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于萬字。有圖紙應(yīng)符合國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。盡管Riemann積分的理論相對(duì)完備,但是在解決某些問題時(shí),我們發(fā)現(xiàn)Riemann積分也存在著一些不。足.本文從Riemann積分著手,通過具體的例子說明Riemann積分的缺陷.進(jìn)而就有了改造Riemann積分。Riemann積分與Lebesgue積分的基本知識(shí),來探討與歸納出兩者間的區(qū)別與聯(lián)系,通過比較兩者的定義,解決一些Riemann積分解決不了的問題.

　　

【正文】 1)( 在 Riemann 積分理論中不一致收斂 ,所以在其中無法計(jì)算 .而在Lebesgue 積分中 ,33211)( ?????? n nn nn nn xxf滿足 Lebesgue 控制收斂定理 ,所以這道題目可以交換積分與極限的次序 ,從而計(jì)算出結(jié)果 . 解 因?yàn)? ,33211)( ?????? n nn nn nn xxf 所以 ,根據(jù) Lebesgue 控制收斂定理有 ? ? ??? ???? ]2,0[ ]2,0[ .1lim1lim dmxdmx n nnn nn 又因?yàn)? 12 ??? ?? ?????? 21, 10,11lim xx xxf n nnn 所以 .252311lim]2,0[ 10 21? ? ? ???????? x d xdxdmxn nn 四、關(guān)于 Riemann 積分與 Lebesgue 積分的實(shí)例 從前面的論述中我們知道 ,引入 Lebesgue 積分是為了克服 Riemann 積分的不足 ,從而擴(kuò)大可積函數(shù)類 .顯見 ,Riemann 積分與 Lebesgue 積分是不同的 ,兩者在計(jì)算上有著很重要的聯(lián)系 ,但又不是蘊(yùn)含關(guān)系 . 我們知道 :對(duì)于定義在 ? ?,ab 上的函數(shù) ??fx,如果它是 Riemann 可積的 ,則它必是Lebesgue 可積的 .這樣我們?cè)谟?jì)算 Lebesgue 積分時(shí) ,可以考慮其是否 Riemann 可積 .如果是 ,可以化成 Riemann 積分來求解 .對(duì)于無界函數(shù)的積分或函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分 ,Riemann積分是作為廣義積分來定義的 .廣義的 Riemann 積分并不一定 Lebesgue 可積 ,所以 Lebesgue積分雖然是 Riemann 積分的推廣 ,卻不是廣義 Riemann 積分的推廣 .在計(jì)算 Lebesgue 積分問題時(shí)要正確區(qū)分相應(yīng)的 Riemann 積分是正常積分還是廣義積分 ,從而選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈビ?jì)算 . 例 4 函數(shù)???? 理點(diǎn)在在無理點(diǎn)1 ,)(3有，xxf在 ]1,0[ 上是否 Riemann 可積？是否 Lebesgue 可積？計(jì)算函數(shù)在 ]1,0[ 上的積分值 .[9] 解 在 ]1,0[ 上 ,除了點(diǎn) 1?x 外 , ??fx都間斷 ,因而 ??fx在 ]1,0[ 上不是 Riemann 可積的 .但是 ??fx在 ]1,0[ 上有界可測(cè) ,所以 ??fx在 ]1,0[ 上 Lebesgue 可積 . 因?yàn)? 3)(.,.),()( xxeaxxf ?? ?? 所以 .)()()()()( 10 10 310 ? ?? ?? dxxLdxxLdxxfL ? 又 3)( xx ?? 在 ]1,0[ 上 Riemann 可積 , 所以 .41)()()()( 10 310 310 ??? ??? dxxRdxxLdxxfL 例 5 在線段 ]1,0[ 上作測(cè)度為 21 的無處稠密的完備集 .此集的鄰接區(qū)間按它們之長(zhǎng)度減小的 13 順序進(jìn)行編號(hào) ,),(,),(),( 2211 ?? nn ?????? 然后在 ]1,0[ 上給出函數(shù) ??????????????? ??????? ??.22,。,1。,0)(上為線性的及在閉區(qū)間的中點(diǎn)在區(qū)間上在，）（，nnnnnnnnExf???????? 此函數(shù) Riemann 可積還是 Lebesgue 可積？求在 ]1,0[ 上 )(xf 的 Lebesgue 積分值 . 下面先介紹一下 Levi 定理：設(shè) )1(, ?nff n 均為可測(cè)集 nRE? 上的非負(fù)可測(cè)函數(shù) ,并且在 E 上有 ,2,1),()( 1 ??? ? nxfxf nn 對(duì)所有的 ,Ex? ? ?)(xfn 收斂于 ),(xf 則 .)()(lim ?? ??? EE nn dxxfdxxf 解 因?yàn)?)(xf 在一正測(cè)度上間斷 ,所以它不是 Riemann可積 ,但是它是 Lebesgue可積的 .且有 .)()()()()()(110 ????????nn dxxfLdxxfLdxxfL nE?? 又 ? ???E EmxfL .0)(0)()( 在 ),( nn ?? 上 )(xf Riemann 可積 ,故 ,12)()()()( ?? ???? nnnnnndxxfRdxxfL ???? ?? .2)()( 110 ?? ?? ?? n nndxxfL ?? 由題設(shè)知 ??? ?1 )(n nn ??是鄰接區(qū)間長(zhǎng)度 ,等于 CE 的測(cè)度 21 ,所以 ? ?? 10 .41)()( xfL 例 6 計(jì)算定義在 )1,0( 上的 Riemann 函數(shù) ????? ??為無理數(shù)時(shí)當(dāng)時(shí)為互質(zhì)的整數(shù)當(dāng)，xqpqpxqxR0),(,1)( 的積分值 . 14 解 令 ? ?，中有理數(shù)為 )1,0(: xxA ? ? ?中無理數(shù)為 )1,0(: xxB ? ,則有 .0)(10)(1)()()()()( )1,0(10 ?????? ???? AmqdxLdxqLdxxRLdxxfR BA 例 7 證明： ],[ ba 上廣義 Riemann 可 積函數(shù) )(xf Lebesgue 可積的充要條件 )(xf 廣義Riemann 可積 .且此時(shí)兩個(gè)積分的值相等 .[10] 證 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上廣義 Riemann 可積 ,且在點(diǎn) b 無界 . [必要性 ] 設(shè) )(xf Lebesgue 可積 ,則當(dāng) ba ??? 時(shí) , )(xf 在 ],[ ?a 上有界 Riemann 可積 , )(xf 也 在 ],[ ?a 上有界 Riemann 可積 ,從而 )(xf 在 ],[ ?a 上 Lebesgue 可積 ,有 .)()()()()()( ???? ?? ? b dxxfLdxxfLdxxfR ??? ?? 由 ? 的任意性可知 , )(xf 在 ],[ ba 上廣義 Riemann 可積 . [充分性 ] 設(shè) )(xf 也是廣義 Riemann 可積 ,則因?yàn)?)(xf 廣義 Riemann 可積 ,且由所設(shè)有 ? ??? ? ?? ab dxxfRA .)()(lim 選點(diǎn)列 ??,n? 使 ba ??? ,且 .21 bnn ?? ????? ????? ? 作函數(shù) ??? ?? ??? .,0 ,),()( bx xxfxfnnn ? ?? 因?yàn)?)(xfn 顯然在 ],( bn? 上 Lebesgue 可積 ,且 ? ?b nn dxxf? .0)( 由積分的區(qū)間可加性質(zhì) , )(xfn 在 ],[ ba 上 Lebesgue 可積 ,從而 )(xfn 在 ],[ ba 上 Lebesgue 可積 ,且有 .)()()( ?? ?? naba AdxxfRdxxfL ? 因?yàn)?)(xfn 是 ],[ ba 上的單調(diào)增加函數(shù)列 ,故由 Levi 定理 , )(lim)( xfxfnn ???在 ],[ ba 上Lebesgue 可積 .由于對(duì)任何 ,n ,)()( xfxfn ? 故取 )(xfn 的控制函數(shù) ,則依據(jù)控制收斂定理 ,有 ???? ??? ???? baanbanba dxxfRdxxfRdxxfLdxxfL n .)()()()(l i m)()(l i m)()( ? 15 類似可證有無窮極限的廣義 Riemann 可 積函數(shù)情形 .只需將所取的 ??n? ,使 ??n? 即可 . 五、總結(jié) 通過對(duì) Riemann 積分和 Lebesgue 積分的關(guān)聯(lián)性的研究 ,我們知道 Riemann 積分在應(yīng)用領(lǐng)域取得了巨大的成功 ,但是 Riemann 積分的應(yīng)用范圍因?yàn)槠涠x的局限而受到限制 .由于Riemann 可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù) ,使得 Riemann 積分在許多問題的應(yīng)用中遇到了瓶頸 .而 Lebesgue 積分是對(duì) Riemann 積分的拓展與提升 ,在數(shù)學(xué)分析中有舉足輕重的地位 .Lebesgue 積分可積函數(shù)類廣泛 ,并且還具備良好的性質(zhì) ,理論也相當(dāng)完備 . 第一，擴(kuò)大了微積分基本定理的使用范圍 ,Lebesgue 提出當(dāng) ??fx? 有界時(shí) ,證明微積分定理相對(duì)容易 .但是在 ??fx? 有限值且無界時(shí) ,只要 ??fx? 是可積的 ,微積分基本定理依然成立．在 Lebesgue 積分的意義下 ,任何絕對(duì) 連續(xù)函數(shù)都可積的．所以在微積分基本定理中只需滿足 ??fx是 ? ?,ab 上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù) ,則 ( ) ( ) ( )???? xaf x f a f t dt. 第二， Lebesgue 積分將積分的幾何意義進(jìn)一步推廣 ,將 Riemann 積分中曲邊梯形面積推廣至 )(xf 在 E 上的下方圖 形集的測(cè)度問題上 . 第三，遇到有關(guān)重積分的計(jì)算時(shí) ,重積分化為累次積分的條件發(fā)生減弱 .在 Lebesgue 積分理論下 ,只需可測(cè)且有一個(gè)累次積分存在 ,就可以將重積分化為累次積分 .然而在 Riemann 積分理中 ,重積分與兩個(gè)累次積分都存在時(shí)才相等 . 第四，在二重積分與累次積分的關(guān)系問題上 ,把積分推廣于無界函數(shù)的情形時(shí) ,用Riemann 積分理論無法應(yīng)對(duì) .而 Lebesgue 重積分理論 ,擴(kuò)大了用累次積分計(jì)算二重積分函數(shù)范圍 . 第五， Lebesgue 積分理論在數(shù)學(xué)分析中十分有用 ,特別是是在三角級(jí)數(shù)問題中 ,得到了廣泛的應(yīng)用 . 16 參考文獻(xiàn) [1] 華東師大數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,20xx. [2] 中科大高數(shù)教研室 .高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論 [M].北京 :中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社 ,1996. [3] 張筑生 .數(shù)學(xué)分析新講 [M].北京 :北京大學(xué)出版社 ,1991. [4] 匡繼昌 .實(shí)分析引論 [M].湖南 :湖南教育出版社 ,1996. [5] 程其襄 .實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) [M].北京 :高等教育出版社 ,1983. [6] 周民強(qiáng) .實(shí)變函數(shù)論 [M].北京 :北京大學(xué)出版社 ,20xx. [7] 趙煥光 .實(shí)變函數(shù) [M].四川 :四川大學(xué)出版社 ,20xx. [8] 周民強(qiáng) .數(shù)學(xué)分析 [M].上海 :上海科學(xué)技術(shù)出版社 ,20xx. [9] 王軍濤 .Riemann 與 Lebesgue 積分比較 [Ｊ ].河南科技學(xué)院學(xué)報(bào) , 36,. [10] 周成林 .勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別于聯(lián)系 [Ｊ ].新鄉(xiāng)學(xué)報(bào) , 20,.