積分中值定理的推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-19 03:07本頁面
【正文】 時可得到估計的積分值為。例2 估計的積分解：設(shè)。則，其次，假設(shè)和，則單調(diào)下降，并且有。于是，其中。因此。例3 證明等式。證法1：由第一積分中值定理可知，其中位于和之間的某個值。證法2：由第二積分中值定理可知得 ，其中位于和之間的某個值，于是。 求含定積分的極限例4 求極限解：利用廣義積分中值定理 則 確定積分號例5確定積分的符號解：由積分中值定理可知其中。又在上不恒為0，則有，即的符號為正號。 比較積分大小例6 比較積分和的大小解：當時，從而有，于是我們有，即小于等于。 證明函數(shù)的單調(diào)性例7設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其中，試證：在內(nèi)，若為非減函數(shù)，則必為非增函數(shù)。證明：利用分歩積分法，將化為對上式求導(dǎo)，可以得到：。由積分中值定理，可得：。若為非減函數(shù)，則有成立，因此可以得到，故為非增函數(shù)，命題得證。 證明定理例8 證明（阿貝爾判別法）如果在上可積，單調(diào)有界，那么收斂。證明：由假設(shè)條件，利用第二中值定理，在任何一個區(qū)間上（其中），存在，使得。因為在上可積，則收斂，所以對于任何，存在，使得當時，成立。又由，根據(jù)柯西收斂原理可推知積分收斂。備注2： 當討論無界函數(shù)廣義積分時，可將阿貝爾判別法可改寫為：假設(shè)在有奇點，收斂，單調(diào)有界，那么積分收斂。證明：對應(yīng)用第二積分中值定理，證明過程略。備注3：當討論二元函數(shù)的積分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的阿貝爾判別法可寫為：假設(shè)關(guān)于為一致收斂，關(guān)于單調(diào)（即對每個固定的，作為的函數(shù)是單調(diào)的），并且關(guān)于是一致有界的，即存在正數(shù)，對所討論范圍內(nèi)的一切成立：。那么積分關(guān)于在上是一致收斂的。證明：由于關(guān)于是一致收斂的，則對于任意正數(shù)，存在，當時，成立。因此，當時，將看成給定常數(shù)，則由積分第二中值定理中的公式因為對任意的都有，則。因此，關(guān)于在上是一致收斂的，命題得證。例9 證明（狄里克萊判別法）如果有界，即存在，使得單調(diào)且當時趨向于零，那么積分收斂。證明：因為，所以對任意的，存在，當時。又因，所以，同樣我們有 。由第二積分中值定理，只要，就有所以積分收斂，命題得證。備注4：當討論無界函數(shù)廣義積分時，我們可將狄立克萊判別法寫為：設(shè)在有奇點，是的有界函數(shù)，單調(diào)且當時趨于零，那么積分收斂。證明：對應(yīng)用第二積分中值定理，證明過程略。備注5： 當討論二元函數(shù)的積分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的狄立克萊判別法寫為：設(shè)積分對于和是一致有界的，即存在正數(shù)，使對上述成立又因為關(guān)于是單調(diào)的，并且當時，關(guān)于上的一致趨于零，即對于任意給定的正數(shù)，有，當時，對一切成立 ，那么積分關(guān)于在上是一致收斂的。證明：由所假設(shè)的條件可推知對任何，有而由和上式可推知，當時 ，因此，關(guān)于在上是一致收斂的，命題得證。7 結(jié)論本課題通過討論積分中值定理，對積分中值定理內(nèi)容如積分中值定理的定義、推廣、漸進性質(zhì)、應(yīng)用加以說明，使得我們對積分中值定理有一個大概的了解。本文論述得還是比較完全的，對于積分中值定理的各個方面有關(guān)情形都一一加以討論。而且對于現(xiàn)在比較熱門研究的漸進性問題有了初步了解，但相對于當今的研究方向來說討論還是比較少的，并且討論的時候?qū)τ诮o出的條件比較苛刻。此外，積分中值定理的推廣問題也是當今數(shù)學(xué)研究的一個方向，我們再此也給出了簡單的介紹。但課題的內(nèi)容缺少了與實際接軌的東西，理論性質(zhì)比較強，任何學(xué)科的研究都是為現(xiàn)實生活服務(wù)的，我希望在應(yīng)用方向能夠找到更加實際的東西，因此當然希望以后能有現(xiàn)實的東西加在理論問題的研究之中。謝 辭首先，我要衷心感謝我的導(dǎo)師黃老師兩個多月來對我辛勤的培育和無微不至的關(guān)懷。在選題，查找資料，撰寫，到反復(fù)修改，乃至定稿，都得到了黃老師的悉心指導(dǎo)。黃老師有著嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，忘我的工作態(tài)度以及正直的為人和寬廣的胸懷，是我們的楷模，也使學(xué)生銘記于心，這些將影響我日后的工作和學(xué)習(xí)，將使我受益終身。其次，我要感謝我四年同窗好友434宿舍的全體姐妹們，她們總是在我遇到困難的時候伸出友誼之手，在論文的撰寫及校正過程中，她們更是給了我大量的建議和幫助，在此向她們表示感謝！最后，我要感謝07級信息與計算科學(xué)專業(yè)以及信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院的所有老師和同學(xué)，感謝他們在四年來的支持和幫助。參考文獻[1] 陳紀修、於崇華、（第二版上冊）.北京:高等教育出版社，[2] 陳紀修、於崇華、（第二版下冊）.北京:高等教育出版社，[3] 陳傳璋、（下冊）.北京：高等教育出版社，1983. 286288[4] 陳傳璋、（上冊）.北京：高等教育出版社，1983. 5156， 252[5] （第五版上冊）.北京：高等教育出版社，1996. 232[6] （第五版下冊）.北京：高等教育出版社，1996. 28[7] 王成偉、“中值點”，1994. 8689[8] 王成偉、2000. 7375[9] 胡衛(wèi)敏. ,2004. 610[10] 李云霞. 關(guān)于廣義積分中值定理及“中間點”,1998. 1619[11] Altonso G Azpeitia . On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula . Amer Math Monthly
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1