【導(dǎo)讀】填寫日期：20xx年5月2日。初等代數(shù)是研究數(shù)學(xué)的代數(shù)運(yùn)算的理論和方法，比如，研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，以及以它們。程，因而長(zhǎng)期以來都把代數(shù)學(xué)理解成方程的科學(xué).高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)。充研究對(duì)象和研究范圍，從最簡(jiǎn)單的一元二次方程開始，更深層的繼續(xù)討論三次、四次方。韋達(dá)定理是初等代數(shù)中最重要的內(nèi)容之一，它揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的基本。關(guān)系.本文將從韋達(dá)定理在一元二次方程中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，初步討論一元二次方程根與系數(shù)

　　

【正文】 像只有一種辦法， 那就是 將 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 6 0f x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 展開然后比較系數(shù)得出答案，這是一個(gè)非常巨大的體力工作，如果巧妙地運(yùn)用推廣的韋達(dá)定理，便能很快求出所需答案 . 例 已知 ? ? 3 1f x x x? ? ?為一個(gè)三次多項(xiàng)式， ??gx也是一個(gè)三次多項(xiàng)式，滿足? ?01g ?? ，且 ? ? 0gx? 得三個(gè)根恰好是 ? ? 0fx? 的三個(gè)根的平方，求 ??9g 的大小 . 解析 設(shè) 1 2 3,x x x 為方程 32+0 1 0x x x? ? ?的三個(gè)根，由韋達(dá)定理知 1 2 31 2 2 3 3 11 2 30,1,1.x x xx x x x x xx x x? ? ???? ? ?????? 則有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 122 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 321 2 32 0 2 1 2 ,2 1 2 1 0 1 ,1.x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? 因此，原方程為 ? ? 3221g x x x x? ? ? ?， 故 ? ? 329 9 2 9 9 1 8 9 9g ? ? ? ? ? ?. 例 求有單根 2? 和 有重根 3 的四次 方程 . 解 析 由題意可得，設(shè)四次多項(xiàng)式 ? ? ? ?? ?? ? 21 2 3f x a x x x? ? ? ?，由 推廣的 韋達(dá)定理可得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 3 51 2 1 3 1 3 2 3 3 3 1 ,1 2 1 3 1 3 2 3 3 3 1 ,1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 3 3 21 ,1 2 3 3 18.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ?? 故 ? ? 4 3 25 21 18 0f x x x x x? ? ? ? ? ?，即所求四次方程為 4 3 25 21 18 0x x x x? ? ? ? ?. 歸納 此類型題目為已知根求 一元高次方程，根據(jù)推廣的韋達(dá)定理，可以反推得出一元高次方程的各項(xiàng)系數(shù)，進(jìn)而推得一元高次方程 . 例 1 ( 20xx 湖北孝感 )已知關(guān)于 x 方程 ? ?222 1 0x k x k? ? ? ?有兩個(gè)實(shí)根 12,.xx （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）若 1 2 1 2 1x x x x? ? ?，求 k 的值 . 解析 （ 1）由題意可知，可得 2 2 24 4( 1 ) 4 0b ac k k? ? ? ? ? ? ?，解得 12k? . 貴陽學(xué)院畢業(yè)論文 12 （ 2 ）由 1 2 1 2 1x x x x? ? ?可得， ? ?12=2 1x x k??， 又 12k?，因此 ? ?21k? 0 ，? ? 22 1 1kk? ? ? ?，解得 1 1k? （舍）， 2 ?? 所以， k 的值是 3? . 歸納 巧妙地將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題方法 .同時(shí)應(yīng)該注意考慮方程的根的個(gè)數(shù)問題，即根式判別式的取值范圍 . 例 1已知一元二次方程 24 5 1 0xx? ? ? ，不解方程，求作以該方程的兩根的倒數(shù)為根的一元二次方程 . 解析 由題意可設(shè) 24 5 1 0xx? ? ? 的兩根為 12,xx，那么所求的方程的根為11x 和21x . 由推廣的韋達(dá)定理可知 12125 ,41 .4xxxx? ? ?????? ??? 所以 121 2 1 21 2 1 211 5,1 1 1 4.xxx x x xx x x x?? ? ? ? ????? ? ? ??? 因此， 根據(jù)韋達(dá)定理可得， 所求方程為 2 5 4 0xx? ? ? . 歸納 本題巧妙地運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，把兩個(gè)方程的根與系數(shù)聯(lián)系起來，為解題提供便道 . 總結(jié) 推廣的 韋達(dá)定理 在 初等代數(shù)、解析幾何、 方程論、多項(xiàng)式及其他 數(shù)學(xué)領(lǐng)域 應(yīng)用極為廣泛， 巧妙地運(yùn)用推廣的韋達(dá)定理解決一些 數(shù)學(xué)問題，不但可以為解題提供 便利之道，還有利于 激發(fā) 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極興趣 ，并養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣 . 貴陽學(xué)院畢業(yè)論文 13 致謝 本畢業(yè)論文得以順利完成，首先應(yīng)當(dāng)歸功于王琪教授的精心指導(dǎo) .無論是選題、資料整理還是在論文撰寫等各方面，他都給予大量的指導(dǎo)和幫助，使我不但按時(shí)完成了論文，而且還從許多書刊中學(xué)到許多課堂上無法學(xué)到的知識(shí)，真的是受益匪淺，特致以深深的感謝 . 其次，感謝數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的領(lǐng)導(dǎo)和教師給予大量的支持，以及貴陽學(xué)院有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)和工作人員的支持與配合 . 然后，感謝鄒興文先生和周萬瓊女士的積極支持和大力幫 助，在我們共同完成論文的同時(shí)，也從各自的身上學(xué)到許多以前沒有學(xué)到的優(yōu)點(diǎn)，可以說是互相受益成長(zhǎng)了 . 最后要衷心感謝生我養(yǎng)我的父母，您們辛苦了，為了使我能上一個(gè)大學(xué)，您們付出太多的汗水與操勞，感謝您們對(duì)我的養(yǎng)育之恩，感謝您們 一直以來對(duì)我的支持 ！ 感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者 .本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻(xiàn) ，如果沒有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文 . 由于 本人 的學(xué)術(shù)水平有限， 對(duì)本文的寫作 難免有不足之處，懇請(qǐng)各位老師和學(xué) 者 批評(píng)指正！ 貴陽學(xué)院畢業(yè)論文 14 參 考文獻(xiàn) [1] 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 . 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書 ( 必修 ). 《 數(shù)學(xué) 》 第二冊(cè)(上 )[M]. 北京 :人民教育出版社 ,20xx. [2] 楊艷麗 ,王廣福 . 韋達(dá)定理及其推廣應(yīng)用 [J]. 云南保山學(xué)院學(xué)報(bào) , 20xx(5): 8688. [3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室 . 高等數(shù)學(xué) . 第三版 [M]. 北京 : 高等教育出版社 , 20xx. [4] 付興宏 ,羅雨滋 . 淺談多項(xiàng)式理論在初等代數(shù)中的運(yùn)用 [J], 遼寧師專學(xué)報(bào) , 199(3):1215. [5] 余元希 ,田萬海 ,毛宏德 . 初等 代數(shù)研究 (下冊(cè) )[M]. 北京 :高等教育出版社 ,.