二、交錯級數(shù)及其審斂法(編輯修改稿)
2025-08-14 06:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Nn ?當(dāng)時 (2) 當(dāng) nn uu ??1 1?? n Nu?? ?1lim 1 ???? nnn uu說明 : 當(dāng) 時 ,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . 例如 , p – 級數(shù) nnn uu 1lim ??? ppnnn 1)1(1l i m ???? 1?但 ,1?p級數(shù)收斂 。 ,1?p 級數(shù)發(fā)散 . 從而 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY l i m???n例 5. 討論級數(shù) 的斂散性 . 解 : nnn uu 1l im ???? nxn )1( ?1?nxn x?根據(jù)定理 4可知 : ,10 時當(dāng) ?? x級數(shù)收斂 。 ,1時當(dāng) ?x 級數(shù)發(fā)散 。 ,1時當(dāng) ?x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY ?對任意給定的正數(shù) ? ,li m ???? n nn u?定理 5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項級 ,li m ???? n nn u則 證明提示 : ,?? ZN存在???? ???? n nu即 nnn u )()( ???? ????分別利用上述不等式的左 ,右部分 , 可推出結(jié)論正確 . 1?? 1?? ??1?? 1?? ??數(shù) , 且 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY 時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . 例如 , p – 級數(shù) pnn nnu ??????? 1 )(1 ??? n說明 : 但 ,1?p級數(shù)收斂 。 ,1?p 級數(shù)發(fā)散 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY 例 6. 證明級數(shù) 收斂于 S , 似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 解 : n nn n nu 1??由定理 5可知該級數(shù)收斂 . 令 ,nn SSr ?? 則所求誤差為 ??????? ?? 21 )2( 1)1( 10 nnn nnr??? ? 1)1( 1 nn nnn )1( 1??1111?? n并估計以部分和 Sn 近 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY 二 、交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負(fù)相間的級數(shù) 稱為 交錯級數(shù) . 定理 6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件 : 則級數(shù) 。),2,1()1 1 ??? ? nuu nn,0l i m)2 ??? nn unnn u?????11)1(收斂 , 且其和 ,1uS ? 其余項滿足 .1?? nn ur,2,1,0 ??? nu n設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 YANGZHOU UNIVERSITY 證 : )()()( 21243212 nnn uuuuuuS ??????? ???)()()( 1222543212 ?? ???????? nnn uuuuuuuS ?是單調(diào)遞增有界數(shù)列 , 又 )(limlim 12212 ?????? ?? nnnnn uSS故級數(shù)收斂于 S, 且 ,1uS ?nu2?
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