【文章內(nèi)容簡介】 =5734161139222659/9007199254740992*x+1 l1 =5734161139222659/9007199254740992*x P = L =5734161139222659/9007199254740992*x+1 Y = 輸入程序 M=1。x=pi/6。 R1=M*abs((xX(1))*(xX(2)))/2 運行后輸出誤差限為 R1 =. n=2輸入程序 X=0:pi/4:pi/2。 Y =cos(X) , l01= conv (poly(X(2)),poly(X(3)))/(( X(1) X(2))* ( X(1) X(3))), l11= conv (poly(X(1)), poly(X(3)))/(( X(2) X(1))* ( X(2) X(3))), l21= conv (poly(X(1)), poly(X(2)))/(( X(3) X(1))* ( X(3) X(2))), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), l2=poly2sym (l21), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3), L=poly2sym (P),x=pi/6。 Y = polyval(P,x) 運行后輸出基函數(shù) l0 l11和 l21及其插值多項式的系數(shù)向量 P、插值多項式 L和插值 Y為 l0 =228155022448185/281474976710656*x^22150310427208497/1125899906842624*x+1 l1 =228155022448185/140737488355328*x^2+5734161139222659/2251799813685248*x l2 =228155022448185/281474976710656*x^25734161139222659/9007199254740992*x P = L=6048313895780875/18014398509481984*x^27870612110600739/72057594037927936*x+1 Y = 輸入程序 M=1。x=pi/6。 R2=M*abs((xX(1))*(xX(2)) *(xX(3)))/6 運行后輸出誤差限為 R2 =. ?cos (π/6)= … 三、 n次拉格朗日插值的 Matlab程序 例 *14給出節(jié)點數(shù)據(jù) f()=， f()= ，f()=， f()= ，作三次拉格朗日插值多項式計算 f()，并估計其誤差。 解 ：輸入程序 X=[2,0,1,2]。 Y =[17,1,2,17]。 p1=poly(X(1))。 p2=poly(X(2))。 p3=poly(X(3))。 p4=poly(X(4))。 l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/(( X(1) X(2))* ( X(1) X(3)) * ( X(1) X(4))), l11= conv ( conv (p1, p3), p4)/(( X(2) X(1))* ( X(2) X(3)) * ( X(2) X(4))), l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/(( X(3) X(1))* ( X(3) X(2)) * ( X(3) X(4))), l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/(( X(4) X(1))* ( X(4) X(2)) * ( X(4) X(3))), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21), l3=poly2sym (l31), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3) + l31* Y(4), 運行后輸出基函數(shù) l0， l1， l2和 l3及其插值多項式的系數(shù)向量 P為 l0 =1/24*x^3+1/8*x^21/12*x， l1 =1/4*x^31/4*x^2x+1 l2 =1/3*x^3+4/3*x， l3 =1/8*x^3+1/8*x^21/4*x P = 1 4 4 1 輸入程序 L=poly2sym (P),x=。 Y = polyval(P,x) 運行后輸出插值多項式和插值為 L = x^3+4*x^24*x+1 Y =. 輸入程序 syms M。 x=。 R3=M*abs((xX(1))*(xX(2)) *(xX(3)) *(xX(4)))/24 運行后輸出誤差限為 R3 =91/2500*M 即 ? ? ? ? ? ?, 43 ?? ??fRsyms M為定義一個符號變量 M 四、拉格朗日多項式和基函數(shù)的 Matlab程序 求拉格朗日插值多項式和基函數(shù)的 MATLAB主程序如下 function [C, L,L1,l]=lagran1(X,Y) m=length(X)。 L=ones(m,m)。 for k=1: m V=1。 for i=1:m if k~=i V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)X(i))。 end end L1(k,:)=V。 l(k,:)=poly2sym (V) end C=Y*L1。L=Y*l return 新建一個 ，將程序拷貝到文件中，并將文件保存到 matlab的工作目錄下，即可直接調(diào)用函數(shù)。 例 *15給出節(jié)點數(shù)據(jù) f()=， f()= ，f()=， f()= ， f()=， f()=，作五次拉格朗日插值多項式和基函數(shù)，并寫出估計其誤差的公式。 解 ：輸入程序 X=[ ]。 Y=[ ]。 [C, L ,L1,l]= lagran1(X,Y) 運行后輸出五次拉格朗日插值多項式 L及其系數(shù)向量 C，基函數(shù) l及其系數(shù)矩陣 L1如下 C = L =*x+*x^2+*x^3+*x^4*x^5 L1 = l = [ *x^5+*x^*x^*x^2+*] [ *x^*x^*x^3+*x^*x+] [ *x^5+*x^4+*x^*x^*x+] [ *x^*x^*x^3+*x^2+*] [ *x^5+*x^4+*x^*x^*x+] [ *x^5+ *x^*x^3+*x^2+*] 估計其誤差的公式為 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?,!665???=?? xxxxxxfxR五、拉格朗日插值及其誤差估計的 Matlab程序 function [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M) n=length(X)。 m=length(x)。 for i=1:m z=x(i)。s=。 for k=1:n p=。 q1=。 c1=。 for j=1:n if j~=k p=p*(zX(j))/(X(k)X(j))。 end q1=abs(q1*(zX(j)))。c1=c1*j。 end s=p*Y(k)+s。 end y(i)=s。 end R=M*q1/c1。 return 例 *16已知 sin30 176。 =， sin45 176。 =， sin60 176。 =，用拉格朗日及其誤差估計的 MATLAB函數(shù)求sin40 176。 的近似值，并估計其誤差。 解 ：輸入程序 x=2*pi/9。 M=1。 X=[pi/6 ,pi/4, pi/3]。 Y=[,]。 [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M) 運行后輸出插值 y及其誤差限 R為 y = R = . ?sin (40 176。 )= … ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P ? = ) ( 0 0 1 0 1 0 x x x x x x y ? = ( ( ) ) f f f[x0,x1] 二次牛頓插值多項式 我們再看 線性插值 的 點斜式 : ) ( 0 0 x x y ? = f[x0,x1] 常數(shù) (差商 ) 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達式 : P2(x)=?0 + ?1(xx0) + ?2(xx0)(xx1) 利用 P2(x0)=y0有 : ?0 = y0 , 利用 P2(x1)=y1有 : ?1 = 0 1 0 1 x x x x ( ( ) ) f f = f[x0,x1] , 利用 P2(x2)=y2有 : ?2 = f[x0,x1] (x2x0)(x2x1) (x2x0)(x2x1) 0 x x2 ( ( ) ) f f (x2x0) f[x0,x2] f[x0,x1] x2 x1 = = f[x0,x1,x2] 。 P2(x)=f(x0) + (xx0) + (xx0)(xx1) f[x0,x1] f[x0,x1,x2] x=x0時 0 注 : 1. 事實上 ,從上述可看出二次牛頓插值公式是用 待定系數(shù)法 求得的 。 2. 它也可看作是三個特殊函數(shù)的一種線性組合 : P2(x)=f(x0) + (xx0) + (xx0)(xx1) f[x0,x1] f[x0,x1,x2] f[x0,x1] , f[x0,x1,x2] f(x0), 1 , (xx0) , (xx0)(xx1) 即函數(shù) 的線性組合 ,組合系數(shù)為 本質(zhì)上還是 基函數(shù)法 . 更一般地， n+1個節(jié)點的插值多項式，我們希望由上述類似的一組特殊函數(shù)： 來線性組合為： 1 , (xx0) , (xx0)(xx1) ， …… ， (xx0)(xx1)…( xxn) )) . .. ((. ..))(()()( 10102021 ????= nnn xxxxaxxxxaxxaaxN那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？ 我們同樣可用待定系數(shù)法 . 容易發(fā)現(xiàn) , 計算 a0, a1, a2 ,…, an 是很有規(guī)律的 . 一、均差及其性質(zhì) 167。 2 牛頓插值 當 x=x0時， Pn(x0)=a0=f0. 當 x=x1時， Pn(x1)=a0+a1(x1x0)=f1, 推得 a1= f1f0 x1x0 當 x=x2時， Pn(x2)=a0+a1(x2x0)+a2(x2x0)(x2x1)= f2,推得 f2f0 x2x0 f1f0 x1x0 a2= x2x1 依次遞推可得到 a3, …, an. 為寫出系數(shù) ak的一般表達式 ,先引進如下均差定義 . 定義 2 稱 為函數(shù) f(x)關(guān)于點 x0,xk的一階均差 .稱 為 f(x) 的 二階均差 .一般地 , 稱 為 f(x) 的 k 階均差 (差商 ). f[x0,xk] = f(xk)f(x0) xkx0 f[x0,x1,xk]= f[x0,xk] f[x0,x1] xkx1 f[x0,x1,…,x k]= f[x0,…, x k2,xk] f[x0,x1, …, xk1] xkxk1 均差有如下的基本性質(zhì) : 1186。 k 階均差可表示為函