【文章內(nèi)容簡介】 多項(xiàng)式 Nn(x)是 插值多項(xiàng)式 p(x)的另一種表示形式 , 與 Lagrange多項(xiàng)式相比它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開始”的缺點(diǎn) , 且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù) , 同時(shí)在 Newton插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系 . 它滿足 其中 ak (k=0,1,2,…, n)為待定系數(shù)，形如（ ）的 插值多項(xiàng)式稱為 牛頓 (Newton)插值多項(xiàng)式 。 )())(()()( 1101 ?? ????? nnnn xxxxxxaxNxN ?000][][],[xxxfxfxxf??? f[x0,x](x x0) = f(x) f(x0) f(x) + f[x0,x](x x0) =f(x0) 101001],[],[],[xxxxfxxfxxxf???f[x1,x0,x](xx1) =f[x0,x]f[x1,x0] f[x0,x] + f[x1,x0,x](xx1) = f[x1,x0] f(x) + (x x0) f[x1,x0] =f(x0) + (x x0) (xx1) f[x1,x0,x] 牛頓插值公式 (另一種推導(dǎo)方法） f(x)=f(x0)+(x x0)f[x1,x0]+(x x0)(xx1)f[x1,x0,x] 201201012],[],[],[xxxxxfxxxfxxxxf???f[x1,x0,x] = (xx2) f[x2,x1,x0,x] +f[x2,x1,x0] f(x)=f(x0)+(x x0)f[x1,x0] + (x x0)(xx1)f[x2,x1,x0] + (x x0)(xx1)(xx2) f[x2,x1,x0,x] ], .. . ,[)) .. . ()((], .. . ,[)) .. . ()((. ..],[))((],[)()()(011001110012100100xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxfnnnnnn??????????????????Nn(x) Rn(x) 如當(dāng) n=1時(shí)， f(x) = f(x0) + (x x0)f[x1,x0] + (x x0)(xx1) f[x1,x0,x] N1(x)= f(x0) + (x x0)f[x1,x0], R1(x)= (x x0)(xx1) f[x1,x0,x] 其中 Nn(x)稱為 牛頓插值多項(xiàng)式 Rn(x)稱為 牛頓插值余項(xiàng) Rn(x)為牛頓插值的誤差 。 由插值多項(xiàng)式的存在惟一性定理 ， 滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式 Ln(x)與牛頓插值多項(xiàng)式 Nn(x)實(shí)際上是同一個(gè)多項(xiàng)式 ， 僅是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式而已 ， 因此得到牛頓插值多項(xiàng)式的誤差與拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤差也完全相等 。 故有 ? ?( 1 )0100()( ) , , , ( ) ( )( 1 ) !nnnn n i iiifR x f x x x x x x x xn????? ? ? ????? ?)!1()(,)1(10 ???nfxxxxfnn?? 可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一個(gè)插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而 Nn(x)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律 0 1 10 010 0 1 1 1()[ , , ] ( ) ( )()()( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnkn n k k ik inkiknkk k k k k k k k nfxf x x x x x xxfxx x x x x x x x x x???? ???? ???? ? ???? ? ? ? ?? ??其 中這個(gè)性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用 Lagrange插值多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系數(shù)來得到 ） 性質(zhì) 1 函數(shù) f(x) 的 n 階差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可由 函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的線性組 合表示 , 且 差商及其性質(zhì) f[x0 , x1]= f[x1 , x0] f(x1) f(x0) x1 – x0 f(x0) f(x1) x0 – x1 = 性質(zhì) 2 差商具有對(duì)稱性 ,即在 k階差商中 任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 和 的次序 ,其值不變 。 例如 ? ?kxxxf , 10 ?ix jx? ? ? ?0110 , xxfxxf ?? ? ? ? ? ? ???? 120221210 ,, xxxfxxxfxxxf性質(zhì) 3 若 f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多項(xiàng)式 , 則 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m1 次多項(xiàng)式 證：由差商定義 右端分子為 m 次多項(xiàng)式 , 且當(dāng) x = xk+1 時(shí) , 分子為0 ,故分子含有因子 xk+1 – x， 與分母相消后，右端為 m1 次多項(xiàng)式。 ? ? ? ? ? ?xxxxxxfxxxxfxxxxxfkkkkkk ??????110110110,,,, ??? .1 差商及其性質(zhì) 性質(zhì) 4 若 f(x)是 n次多項(xiàng)式 , 則 f [x, x0, x1 , …, xn ] 恒為 0 證： f (x)是 n次多項(xiàng)式，則 f [x, x0 ]是 n1次多 項(xiàng)式 , f [x, x0, x1 ]是 n2 次多項(xiàng)式 , 依次遞推 … … ， f [x, x0, x1 , …, xn1 ] 是零次多項(xiàng)式，所以 f[x,x0,x1 ,…, xn ]?0 性質(zhì) 5 k階差商 和 k階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系 這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾 （ Rolle） 定理證明 . ? ?kxxxf , 10 ?? ? )m a x,m i n(!)(,00)(10 iniinikk xxkfxxxf?????? ???xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] 1 1 4 2 9 3 N2(7)=1+(71)*+ (71)*(74)*()= 3 3 3 3 12 ??? 23 ??? 0 1 66 3 3 33 ????+ (x x0) (xx1) f[x1,x0,x2] + (x x0) f[x1,x0] =f(x0) N(x) 例 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解： 7 .1 差商及其性質(zhì) 例 已知 x=0, 2, 3, 5 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 y=1, 3, 2, 5 , 作三次 Newton插值多項(xiàng)式。 xi f(xi) 一階差商 二階差商 三階差商 0 1 2 3 1 3 2 1 2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 ∴ 所求的三次 Newton插值多項(xiàng)式為 ? ? ? ?? ?3 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 3 0 1 2( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( ), , , ( ) ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? .1 差商及其性質(zhì) 例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本題 f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式 , 故應(yīng)利用差商的性質(zhì) 解 : 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 ? ?()01( 7 ) ( 8 )( 7 )0 1 7( 8 )0 1 7 81, , , ( )!( ) 7 ! , ( ) 0( ) 7 !2 , 2 , , 2 17 ! 7 !( ) 02 , 2 , , 2 , 2 08 ! 8 !nnf x x x fnf x f xffff???????? ? ? ????? ? ? ???及知例 求 并估計(jì)其誤差 的值7解：作函數(shù) f(x) = x取 x0=4, x1=9, x2= , 建立差商表 x f(x) f [xi,xi+1,] f[xi,xi+1,xi+2] 4 2 9 3 N2(7)= 2 + (74)* + (74)*(79)*() = 23 ??? ??? 0 0 8 8 1 ???f (3)(x) = 5)1(83x0 1 1 7 1 )41(83 5 ??Rn (x) |))(97)(47(|!30 1 1 7 1 ?????在區(qū)間 [ 4 , 9 ]上， 余式近似 *10 2, N2(7) = 可舍入為 . . .6 4 5 7 5 ?10| ( ) | | ( ) |( 1 ) !nnniiMR x x xn????? ?| f(x)(n+1) | ? Mn+1 由 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 等距節(jié)點(diǎn) xi+1 xi = h ， 函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值為 y0 , y1, … , yn ，稱 ?yi1= yi yi1 為函數(shù) f(x) 在 [xi1, xi]上的 一階差分 。 稱 ?2yi1= ? yi ? yi1= yi+1 2yi + yi1 為函數(shù) f(x) 在 [xi1, xi+1]上的 二階差分 。 稱 ?kyi1= ?k1yi ?k1yi1 為函數(shù) f(x) 在 [xi1, xi+k1]上的 k 階差分 。 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí) , 被插值函數(shù)的變化率就可用差分來表示 , 這時(shí)牛頓插值公式的形式更簡單 , 計(jì)算量更小 x y ?y ?2y ?3y ?4y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 ?y0 = y1 – y0 ?y1 = y2 – y1 ?y2 = y3 – y2 ?y3 = y4 – y3 ?2y0 = ?y1 ?y0 ?2y1= ?y2 ?y1 ?2y2= ?y3 ?y2 ?3y0= ?2y1 ?2y0 ?3y1= ?2y2 ?2y1 ?4y0 等距節(jié)點(diǎn)插值 ?y0= y1 – y0 ?y1= y2 – y1 ?y2= y3 – y2 = y2 – 2y1 +y0 ?2y0= ?y1 ?y0 ?3y0= ?2y1