數(shù)值分析--第2章插值法(編輯修改稿)
2024-09-19 01:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ()()1…2）將以上表中下劃線對(duì)角線項(xiàng)與對(duì)應(yīng)行右端因子乘積求和即得Newton向前插值多項(xiàng)式；Newton向后插值公式則為最后的節(jié)點(diǎn)所在行的各階差分值與對(duì)應(yīng)列下端因子乘積之和。例4 已知的函數(shù)表如下，分別用牛頓向前、向后插值公式求的近似值。解 取，有。按表24計(jì)算得一階差分二階差分三階差分11Newton向前插值公式為將代入上式得由式(226)，誤差為Newton向后插值公式為將代入上式得查表可得。如果取，用二階Newton向后插值公式，則得代入上式得其誤差為例5 給出在處的函數(shù)值，試用4次等距節(jié)點(diǎn)插值公式計(jì)算及的近似值并估計(jì)誤差。解 構(gòu)造差分表25。用牛頓向前插值公式(225)計(jì)算的近似值，取，用表25上半部差分，得表 誤差估計(jì)由(226)可得其中計(jì)算可用牛頓向后插值公式()，用差分表25中下半部差分，得于是，誤差估計(jì)由(228)得其中167。4 埃爾米特（Hermite）插值如果對(duì)插值函數(shù)，不僅要求它在節(jié)點(diǎn)處與被插值函數(shù)取值相同，而且要求它與函數(shù)有相同的一階、二階甚至更高階的導(dǎo)數(shù)值，這就是Hermite插值問(wèn)題。本節(jié)主要討論在節(jié)點(diǎn)處插值函數(shù)與函數(shù)的值及一階導(dǎo)數(shù)值均相等的Hermite插值。設(shè)已知函數(shù)在個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 和導(dǎo)數(shù)值，要求插值多項(xiàng)式，滿足條件 (229)這里給出了個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)次的多項(xiàng)式。我們仿照與構(gòu)造Lagrange插值公式相類似的方法來(lái)解決Hermite插值問(wèn)題。 存在惟一的滿足插值條件(229)。證明 可以設(shè)想，如果我們能夠構(gòu)造出兩組次多項(xiàng)式：，并滿足條件 (230)則顯然多項(xiàng)式 (231)滿足插值條件(229)。余下的問(wèn)題就是如何構(gòu)造出插值基函數(shù)。由于在處函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為0，故它們應(yīng)含因子，因此可以設(shè)為其中為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，即。由條件(230)得由此有 (232)同理可得 (233)現(xiàn)在討論惟一性問(wèn)題，設(shè)還有一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式滿足插值條件(229)。令，則由(229)得是一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式，且有個(gè)二重根，所以，即。仿照Lagrange插值余項(xiàng)的證明方法，可導(dǎo)出Hermite插值的誤差估計(jì)。 設(shè)為區(qū)間上的互異節(jié)點(diǎn)，為的過(guò)這組節(jié)點(diǎn)的次Hermite插值多項(xiàng)式。如果在內(nèi)階導(dǎo)數(shù)存在，則對(duì)任意，插值余項(xiàng)為 (234)特別地，當(dāng)時(shí)為三次Hermite插值多項(xiàng)式，它在應(yīng)用上特別重要，現(xiàn)列出詳細(xì)計(jì)算公式。取節(jié)點(diǎn)，插值基函數(shù)是，兩節(jié)點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式為 (235)其插值余項(xiàng)為 (236)例6 求滿足及的插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)表達(dá)式。解 按插值條件，所求是一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式，它的曲線過(guò)點(diǎn)，故可設(shè)其中，為待定常數(shù)。由條件可確定常數(shù)，通過(guò)計(jì)算可得與的誤差函數(shù)為由于以及，故可設(shè)其中為待定函數(shù)。為求引進(jìn)輔助函數(shù)顯然。且，故在內(nèi)有五個(gè)零點(diǎn)（二重根算兩個(gè)）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，得在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故由此可得余項(xiàng)表達(dá)式為式中位于和所界定的范圍內(nèi)。5 分段低次插值 高次插值的病態(tài)性質(zhì)在代數(shù)插值中，為了提高插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)的逼近程度，自然希望增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)。特別當(dāng)時(shí)，期望插值多項(xiàng)式收斂于被插值函數(shù)。但是，令人遺憾的是事實(shí)并非如此。事實(shí)上，假設(shè)存在任意階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，固然使得插值多項(xiàng)式在更多點(diǎn)上與相等，但是在兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)之間不一定能很好地逼近，差異可能很大。在非插值節(jié)點(diǎn)上往往出現(xiàn)誤差函數(shù)先遞減，而后隨著增加而增加，并且變得無(wú)界。當(dāng)時(shí)，插值多項(xiàng)式終于變得發(fā)散的一個(gè)理由是與的階導(dǎo)數(shù)增長(zhǎng)得無(wú)界這一事實(shí)有關(guān)。例如，有，對(duì)固定的，當(dāng)增加時(shí)呈指數(shù)增長(zhǎng)。在本世紀(jì)初由Runge給出了等距節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式不收斂于的例子。例如，對(duì)于函數(shù)，在區(qū)間上取節(jié)點(diǎn)，所作Lagrange插值多項(xiàng)式為，其中是Lagrange插值基函數(shù)。Runge證明了，當(dāng)時(shí)，內(nèi)收斂到，在這區(qū)間之外發(fā)散，這一現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象。當(dāng)時(shí)，圖給出了和的圖形。從圖上看到，僅在區(qū)間中部能較好地逼近函數(shù)，在其它部位差異較大，而且越接近端點(diǎn)，逼近程度越差。它表明通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)來(lái)提高逼近程度是不宜的，一般插值多項(xiàng)式的次數(shù)在范圍內(nèi)。直觀上容易想象，如果不用多項(xiàng)式曲線，而是將曲線的兩個(gè)相鄰的點(diǎn)用線段連接，這樣得到的折線必定能較好地近似曲線。而且只要連續(xù)，節(jié)點(diǎn)越密，近似程度越好。由此得到啟發(fā)，為提高精度，在加密節(jié)點(diǎn)時(shí)，可以把節(jié)點(diǎn)間分成若干段，分段用低次多項(xiàng)式近似函數(shù)，這就是分段插值的思想。用折線近似曲線，相當(dāng)于分段用線性插值，稱為分段線性插值。設(shè)已知函數(shù)在上的個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 ，作一個(gè)插值函數(shù)，使其滿足(1) ；(2) 在每個(gè)小區(qū)間上，是線性函數(shù)。則稱函數(shù)為上關(guān)于數(shù)據(jù)的分段線
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