數(shù)值分析第7章答案(編輯修改稿)
2025-07-21 21:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 令,則,得計(jì)算公式 由于,故取迭代計(jì)算一定收斂,計(jì)算結(jié)果如表76所示. 表76012345繼續(xù)計(jì)算仍得,故.注 本題也可令,解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足方程,用有重根時(shí)的牛頓迭代法()式計(jì)算,經(jīng)四步可得.例79(牛頓迭代法收斂定理)設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足條件(1)(2)在上(3)滿足.則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于在內(nèi)的惟一實(shí)根,并且是平方收斂的.證明 因在上連續(xù),由條件(1)知,(2)知在上恒正或恒負(fù),所以在上嚴(yán)格單調(diào),因而是在內(nèi)的惟一實(shí)根.條件(1),(2)共有四種情形:(1)(2)(3)(4)僅就(1)進(jìn)行定理證明,其余三種情況的證明方法是類似的.由可知, 又臺(tái)勞展開得 ,得 由以及前面證明的,有 一般地,設(shè),則必有且 同樣由臺(tái)勞公式 及,得 根據(jù)歸納法原理知,數(shù)列單調(diào)下降有下界,即.由上述證明知,有關(guān)系式,即對(duì)于單根,牛頓迭代法是平方收斂的.例710 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明 解 牛頓迭代法為 故 其中介于與之間,介于與之間,根據(jù)式()得 例711 設(shè)具有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù),是的重根是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明(1)(2)(3)證明 (1)因是的重根,則可以表示成 所以 由牛頓迭代法得 故 (2) 利用及(1)的結(jié)論得 (3)先證明牛頓迭代函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 因是的重零點(diǎn),則由假設(shè),具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),得 且 其中介于與之間,故有 而 所以 注 結(jié)論(1)(3)可以用來(lái)計(jì)算重根數(shù).例712 考慮下列修正的牛頓公式(單點(diǎn)斯蒂芬森方法) 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試證明該方法是二階收斂的.證明 將在處作臺(tái)勞展開,得 其中介于與之間,于是 由于是的單根,故 所以 故 即迭代法是二階收斂的. 四、學(xué)習(xí)效果測(cè)試題及答案證明方程在內(nèi)有一個(gè)實(shí)根,需二分區(qū)間多少次?(答案:當(dāng)時(shí)對(duì)分次數(shù).)對(duì)方程,確定及,使對(duì)任意均收斂,并求出方程的各個(gè)根,誤差不超過.(答案:(1)。(2)。(3))建立一個(gè)迭代公式計(jì)算,分析迭代的收斂性,取,計(jì)算.(答案:.)試分別采用和的斯蒂芬森迭代法求方程在區(qū)間內(nèi)的根,要求.(答案:取,其解分別為和.)由方程求二重根,試用牛頓法(),有重根時(shí)的牛頓法(),()計(jì)算,要求.(答案:三種方法均取,分別得)用弦切法求方程的根,要求.(答案:取,用式()得.)用拋物線法求解方程在附近的根,要求.(答案:取)試構(gòu)造一個(gè)求方程根的收斂的迭
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