【文章內(nèi)容簡介】 T f f f f ff f f f f? ?? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ??? ?1 8h ?0 9 4 5 6 9 2.?41 1 3 5 7046 4 8 8 8 81 1 321424( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )S f f f f f ff f f f? ??? ? ? ? ????? ??????? ? ? ? ????? ?0 9 4 6 0 8 3 2.?1 4h ?0 9 4 6 0 8 3 0 7 0 3 6 7.（ 1） 使用 復(fù)化 梯形 公式、 Simpson公式，首先要確定步長 ； h（ 2） 而步長要根據(jù) 余項 確定，這就涉及到 高階導(dǎo)數(shù) 的估計； （ 3） 高階導(dǎo)數(shù)的估計一般比較困難，且估計值往往偏大； （ 4） 計算機上實現(xiàn)起來不方便， 通常采用“ 事后估計法 ”。 三、 積分步長的 自動 選取 ： 注意 事項： ?基本 思想 ： 將積分區(qū)間 逐次分半 ?終止 法則： 前后兩次 近似值的誤差小于 已知精度 2 nnII ????具體 過程 （以 復(fù)化 梯形 公式為例 ） 首先將區(qū)間 n等分： [ , ]ab bahn??1122( ) ( ) ( )nnkkhT f a f x f b????? ? ??????再將區(qū)間 2n等分，即步長減半： [ , ]ab1 2hh ?1112110 2222( ) ( ) ( ) ( )nnnkkkkhT f a f x f x f b???????? ? ? ???????110 2122()nnkkbaT f xn?????? ?12 2( ) ( )kkhf x f x???上述條件 滿足 ，程序終止；否則，繼續(xù) 分半 計算。 終止 條件： 由 復(fù)化 梯形 公式的余項知 2112 ( ) ( )nb a b aI T fn??? ??? ? ?22212 2( ) ( )nb a b aI T fn??? ??? ? ?24nnITIT???()fx??變化不大 時 由此得到 近似 關(guān)系式 22141()n n nI T T T? ? ??誤差控制條件 2141()nnTT ????收斂 速度慢 ?對于 復(fù)化 Simpson公式、 Cotes公式可以類似得到 22 2141()n n nI S S S? ? ??22 3141()n n nI C C C? ? ??不足 22141()n n nI T T T? ? ???對于 復(fù)化梯形 公式 加速 收斂 22141()n n nI T T T? ? ??22 2141()n n nI S S S? ? ??22 3141()n n nI C C C? ? ??應(yīng)用步長 逐次減半 得到的復(fù)化 梯形 值、復(fù)化 Simpson值 、復(fù)化 Cotes值與 精確值 的比較 nS?nC?nR?167。 Romberg積分法 /*Romberg Integration Method */ ? Romberg積分思想 由上節(jié)分析知，用 復(fù)化 梯形 公式計算積分值 I2nT的 誤差 大約為： 213()nnTT?令 2213()n n nI T T T? ? ? 243nnTT??由復(fù)化 梯形 公式知 1210 2122()nnnkkbaT T f xn?????? ?1210 24 123 3 3()()nnnnkkTT baT f xn???? ??? ?1122( ) ( ) ( )nnkkbaT f a f x f bn?????? ? ??????1110 2246( ) ( ) ( ) ( )nnkkkkbaf a f x f b f xn???????? ? ? ???????nS?11101 2426( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnkkkkhS f f a f x f x f b???????? ? ? ???????梯形 加速 公式： 224 413 4 1 4 1nnn n nTTS T T?? ? ???利用 復(fù)化 梯形 公式前后兩次積分近似值 和 ， 按 2nTnT照上式作出的 線性組合 得到了具有 更高精度 的 積分值。 上述公式說明： Romberg積分公式正是由此思想產(chǎn)生 Romberg 值序列 Simpson加速 公式： 222441nnSS???Cotes加速 公式： 323441nnnCCR???類似于梯形 加速 公式的處理方法，得到： 22 2141()n n nI S S S? ? ??222441nnnSSC???22 3141()n n nI C C C? ? ??323441nnCC???通過上述 3個積分值序列求積分近似值的方法， 稱之為 Romberg積分法。 4個積分值序列： ? ?2 kT梯形值序列 Simpson值序列 Romberg值序列 Cotes值序列 ? ?2 kS? ?2 kC? ?2 kR1222441kkkTTS? ???122222441kkkSSC? ???132232441kkkCCR? ???Romberg積分法的一般公式 11 1 11441,jm j m jmj jTTT?? ? ?????其中 11 2 1, ()mmT T m???22 2 2, ()mmT S m???33 2 3, ()mmT C m???44 2 4, ()mmT R m???234, , 。j m j??Romberg積分表 11,T21,T31,T41,T51,T22,T32,T42,T52,T33,T43,T53,T44,T54,T2 1 1 112 2 2,()b a b aT T f????1210 2122()nnnkkbaT T f xn?????? ?例 3： 利用 Romberg 積分法式 計算積分 要求精確到小數(shù)點后面 7位。 15011.I d xx???解： 11()fxx??11150 1 5 1 0 52,.[ ( ) ( . ) ] .T f f? ? ?根據(jù) Romberg 積分法計算得 2 1 1 111 5 0 75 0 95 35 71 42 92,[ . ( . ) ] .T T f? ? ?2 1 1 12240 92 14 28 57 13, .TTT???3 1 2 110 75 0 75 1 12 520 92 59 83 57 5,{ . [ ( . ) ( . ) ] }.T T f f? ? ??3 1 2 13240 91 67 87 62 43, .TTT???3 2 2 233160 91 64 78 22 83, .TTT???具體結(jié)果見下表 105.1,kT 2,kT 3,kT 4,kTk132450 9 5 3 5 7 1 4 2 9. 0 9 2 1 4 2 8 5 7 1.0 9 2 5 9 8 3 5 7 5.0 9 1 8 7 4 1 7 9 9.0 9 1 6 9 0 5 3 4 2.0 9 1 6 7 8 7 6 2 4.0 9 1 6 3 2 7 8 7 4.0 9 1 6 2 9 3 1 9 0.0 9 1 6 4 7 8 2 2 8.0 9 1 6 2 9 7 2 2 4.0 9 1 6 2 9 0 0 7 7.0 9 1 6 2 9 4 3 5 1.0 9 1 6 2 9 0 7 7 6.54 0 9 1 6 2 9 0 7 7 6, .T ?0 9 1 6 2 9 0 7 3 1 ?167。 Gauss求積 公式 /*Gauss Quadrature Formula */ 一、 Gauss積分問題的提法 ?前述 Newton— Cotes求積公式中求積節(jié)點是取 等距節(jié)點 ，求積系數(shù)計算方便，但 代數(shù)精度 要受到限制； ?為了提高 代數(shù)精度 ，需要適當(dāng)選擇求積節(jié)點 : ① 當(dāng)求積節(jié)點個數(shù)確定后，不管這些求積節(jié)點如何選 取， 求積公式的 代數(shù)精度 最高 能達到多少？ ② 具有 最高 代數(shù)精度 的求積公式 中求積節(jié)點如何選??？ 0( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?積分公式的 一般形式 ： 只需證明：對于上述 插值型 求積公式，存在一個 2n+2次多項式，使得求積公式 不能精確成立 。 551..Th 形如 的 插值型 求積公式的代數(shù)精度最高不超過 2n+1次。 0( ) ( )nbkkakf x d x A f x?? ??證明： 其中 0( ) ( )nkkx x x??? ? ?令 2( ) ( )f x x??因為 2 0( ) ( )bbaaf x dx x dx?????而 00()nkkkA f x???故求積公式 不能精確 成立 下面討論 一般 積分形式： ()()baf x x d x??其中 為 權(quán)函數(shù) 0()x? ?構(gòu)造積分公式 （ *） 0( ) ( ) ( )nbkkakf x x d x A f x??? ??具有 2n+1次代數(shù)精度。 其中 0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?求積 節(jié)點 求積 系數(shù) 01, , ,kA k n?僅與 求積節(jié)點 有關(guān) 0( ) ( ) ( )nbb jkk aaj kjjkxxA x l x d x x d xxx???????????1Def 如果一組節(jié)點 ，使得 上述 插值型 求積公式具有 2n+1次代數(shù)精度，則稱該組節(jié)點為 Gauss點，相應(yīng)的公式為 Gauss型求積公式。 ? ?01, , , [ , ]nx x x a b?0( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?求積公式 精確成立： 由 代數(shù)精度 定義，當(dāng) 時，