【正文】 1 8 0 2 9 0 0 2()nR f Mnn? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?60 5 1 0. ???4n ?解不等式得 將區(qū)間 8等分，分別采用復(fù)化 Simpson、 梯形 公式 01[ , ] 0 1/8 1/4 3/8 1 1/2 5/8 6/8 7/8 1 ix()ifx復(fù)化 梯形 公式 (n=8) 復(fù)化 Simpson公式 (n=4) 81 1 1 3022 8 8 4 8153712 8 4 8( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )T f f f f ff f f f f? ?? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ??? ?1 8h ?0 9 4 5 6 9 2.?41 1 3 5 7046 4 8 8 8 81 1 321424( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )S f f f f f ff f f f? ??? ? ? ? ????? ??????? ? ? ? ????? ?0 9 4 6 0 8 3 2.?1 4h ?0 9 4 6 0 8 3 0 7 0 3 6 7.（ 1） 使用 復(fù)化 梯形 公式、 Simpson公式，首先要確定步長(zhǎng) ； h（ 2） 而步長(zhǎng)要根據(jù) 余項(xiàng) 確定，這就涉及到 高階導(dǎo)數(shù) 的估計(jì)； （ 3） 高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)一般比較困難，且估計(jì)值往往偏大； （ 4） 計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來(lái)不方便， 通常采用“ 事后估計(jì)法 ”。（ n7） 167。 1() nf x x ??余項(xiàng) 111() ()[ ] ( )( ) !nbnn afR f x d xn? ???? ?? 0 ()nbka k x x d x?? ? ??作 變換 x a th??kx a k h??2000[ ] ( ) ( )nnbnnnk akkI f x x d x h t k d t???? ? ? ? ? ???再作 變換 2ntu?? （ n為偶數(shù)） 2 221 1 12 2 2[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn n nI f h u u u u u u d u??? ? ? ? ? ? ??第二積分中值定理 22 2 2 222144[ ] ( ) ( ) ( )nnnnnI f h u u u u d u??? ? ? ??0?（被積函數(shù)為 奇函數(shù)） 故 n為 偶數(shù) 時(shí)， Newton— Cotes求積公式 至少具有 n+1次代數(shù)精度。 7n ?522..Th 對(duì)于 Newton— Cotes求積公式 0()( ) ( ) ( )nnnkkI f b a C f a k h?? ? ??當(dāng) n為 奇數(shù) 時(shí)至少具有 n次代數(shù)精度；當(dāng) n為 偶數(shù) 時(shí)至少具有 n+1次代數(shù)精度。 0( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?kA?必要性 設(shè)求積公式至少有 n次代數(shù)精度 二、 Newton— Cotes求積公式 Newton— Cotes公式是 插值型 求積公式的特殊形式： 求積節(jié)點(diǎn) 取 等距 分布： ? ? 0nk kx ?0 1 2, , , ,kx a kh k n? ? ? bahn??0()nbb jkk aaj kjjkxxA l x d x d xxx?????????00( ) ( )()( ) ( )nnjjka th a jhd a tha k h a jh??? ? ???? ? ???x a th??步長(zhǎng) 00()()nnjjkt j hhd tk j h??????? 001( ) ( )()! ( ) !nk nnjjkbat j d tk n k n???????? ??()() nkkA b a C??其中 001() ()()! ( ) !nk nnnkjjkC t j d tk n k n??????? ??Cotes系數(shù) 0()( ) ( ) ( ) ( )nbnknakf x d x b a C f a k h I f?? ? ? ???Newton— Cotes公式： a bn=1時(shí)的求積公式 11 0 0 1 10( ) ( ) ( ) ( )kkkI f A f x A f x A f x?? ? ??? ?2( ) ( ) ( )baT f f a f b???梯形 公式 /*Trapezoidal Formula */ 1次 代數(shù)精度 用 梯形 面積近似 ()y f x? a bn=2時(shí)的求積公式 22 0 0 1 1 2 20( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkI f A f x A f x A f x A f x?? ? ? ??462( ) ( ) ( ) ( )b a a bS f f a f f b????? ? ?????3次 代數(shù)精度 Simpson公式 用 拋物形 面積近似 ()y f x? a bn=4時(shí)的求積公式 2 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I f A f x A f x A f x A f x A f x? ? ? ? ?? 7 3 2 1 2 290( ) ( ) ( ) ( )baC f f a f a h f a h?? ? ? ? ??3 2 3 7( ) ( )f a h f b? ? ?Cotes公式 5次 代數(shù)精度 近似 等于 曲邊梯形的面積 ()y f x? 例 1： 分別利用 梯形 公式、 Simpson公式、 Cotes公式 計(jì)算積分 的近似值。 證明： 充分性 設(shè)它是 插值型 求積公式 21( ) , nf x x x x? , , ,當(dāng) 時(shí)， 11 01() ()[ ] ( )( ) !nbnn afR f x d xn?????? ??即它對(duì)所有不超過(guò) n次的多項(xiàng)式精確成立，故至少有 n次代數(shù)精度。 設(shè) 有 舍入 誤差 ()kfx k?，實(shí)際計(jì)算的求積公式為： ? ?0( ) ( )nn k k kkI f A f x ??????兩者的誤差為 ( ) ( ) ( )n n nE f I f I f???? ?00( ) ( )nnk k k k kkkA f x A f x???? ? ???0nkkkA ??? ?0nkkkA ??? ?0nkkA??? ? ()ba???0m a x kkn?????其中 0 0 1( , , , )kA k n??求積系數(shù) 全為正 時(shí)，公式是 穩(wěn)定 的 167。 0( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?0( ) ( )nn k kkI f A f x?? ?511..Th 求積公式 具有次 m代數(shù)精度的充要條件是 為 時(shí)求積公式 精確成立 ，而 為 時(shí)求積公式不能成為等式。 ?幾何 意義： 曲邊梯形的面積 ()y f x? a ba b取 左 端點(diǎn) 矩形 近似 ?求 定積分的 思想： 分割 、近似、 求和 取 右 端點(diǎn) 矩形 近似 復(fù)化型 求積公式 ()y f x? ?數(shù)值積分公式的 一般形式 ： 0( ) ( ) ( )nn k kkI f A f x??? ? ()baf x d x? ?其中 0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?求積 節(jié)點(diǎn) 求積 系數(shù) 01, , ,kA k n?僅與 求積節(jié)點(diǎn) 有關(guān) 求積公式的 截?cái)嗾`差 或 余項(xiàng) ： 0( ) ( ) ( )nbn k kakR f f x d x A f x??? ??167。殘量 ?離散 的 最佳 逼近問(wèn)題 問(wèn)題的提法： ix()ifx2x 1mx ? mx1x1()fx 2()fx 1()mfx ? ()mfx已知 在 的函數(shù)表 ()fx [ , ]ab? ? 0() nj jx? ? 是區(qū)間 上的一個(gè) 線性無(wú)關(guān) 函數(shù)系 [ , ]ab尋求函數(shù) 0( ) ( )njjjx a x???? ?使得 012( ) ( ) , , ,ni j j i ijr a x f x i m??? ? ??在 一定意義 下達(dá)到 最小 。 m=n且 時(shí)即為插值問(wèn)題 0ir ?a b第五章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 /*Numerical Integration And Derivation*/ 近似計(jì)算 ?? ba dxxfI )( ( ) ( )F a F b?? 但是在許多實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常遇到下列情況： （ 1） 原函數(shù)存在但不能用 初等函數(shù) 表示； （ 2） 原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示，但 結(jié)構(gòu)復(fù)雜 ； （ 3） 被積函數(shù)沒(méi)有表達(dá)式，僅僅是一張 函數(shù)表 。 數(shù)值求積的基本問(wèn)題 代數(shù)精度的判別方法 ?求積公式的 代數(shù)精度 （ /*Algebraic Precision */） 1Def 如果求積公式 對(duì)一切不高于 m次的多項(xiàng)式都 恒成立 ，而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式 不能精確成立 ，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。 ()fx231 mx x x x、 、 、()fx 1mx ?0nkkA b a????求積系數(shù)的 特征： ?求積公式的 收斂性 和 穩(wěn)定性 若 0l i m ( ) ( )n bkk ankA f x f x d x?? ??? ?則稱求積公式 （ *） 是收斂的。 Newton— Cotes公式 一、 插值型 求積公式 /*Integration Formula of Interpolation Type*/ 思想 用被積函數(shù) 在區(qū)間 上的 插值多項(xiàng)式 近似代替計(jì)算 ()fx [ , ]ab作 n次 Lagrange插值多項(xiàng)式 : 設(shè)已知函數(shù) 在節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 ()fx 01 na x x x b? ? ? ? ?01( ) , ( ) , , ( )nf x f x f x0( ) ( ) ( )nn k kkL x l x f x?? ?( ) ( )bbnaaf x d x L x d x???( ) ( )bb naaf x d x L x d x???0( ) ( )nbkkakl x f x d x?? ??0( ) ( )n bkk akf x l x d x?? ? ?0()nkkkA f x?? ?其中 11()()