【正文】 F MATHEMATICS ],[],[ 21 baSbaS?15],[],[ 21 ?? baSbaS ],[)( 2 baSfI ?是 215],2[],2[215]2,[]2,[2121????????????bbaSbbaSbaaSbaaS數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Romberg積分 ? ?)()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn ???由前面的事后誤差估計(jì)式， ? ? )()()(31)()( 222 fSfTfTfTfI nnnn ????則， 這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合后稱為一個(gè)高階的公式。)(39。212 )()()(22 ?fhabfTfIn ??????????n等分區(qū)間 2n等分區(qū)間 近似有： )(39。12 )()()( 2 ?fhabfTfI n ????)(39。 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ① 先看看事后誤差估計(jì) （ 不同的誤差表達(dá)式，事后誤差估計(jì)式是不同的 ） 以復(fù)化梯形公式為例 )(39。對(duì)于變化 緩慢的部分，加密格點(diǎn)會(huì)造成計(jì)算的浪費(fèi)。 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定義 若一個(gè)積分公式的誤差滿足 且 C ? 0，則 稱該公式是 p 階收斂 的 。 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )(2880 )2())()(4)((62)( )4(522122222iiiixxfhxfxfxfhxfii????? ??? ?????????????????????????????????????10)4(5112101210)4(522122)(2880)2()()(2)(4)(3 )(2880)2())()()((62)(miimiimiiniiiiinfhbfxfxfafhfhxfxfxfhfS??誤差 做等距節(jié)點(diǎn)， mnniihaxn abh i 2。39。39。39。39。39。39。39。39。因此 Runge現(xiàn)象的存在，使得我們不能用 太多的積分點(diǎn)計(jì)算。)2(39。39。39。39。對(duì)區(qū)間做等距分割。與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)。( ) ( ) ]6hf x L x f x f x f x h f fh ??? ? ? ? ? ?數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 數(shù)值積分 )()()( aFbFdxxfba ???關(guān)于積分，有 NewtonLeibniz公式 但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分： 函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成 F(x)求不出 F(x)非常復(fù)雜 定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合 )()(0iniin xfafI ???稱為積分系數(shù)，與 f(x)無(wú)關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān) 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 代數(shù)精度 )()(0iniin xfafI ???為數(shù)值積分， ?? ba dxxffI )()(為積分，則稱數(shù)值 積分有 k階代數(shù)精度 是指： )()(。39。39。39。39。39。39。 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ 39。( ) 39。( )23 hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ?Taylor展開(kāi)分析，可以知道，它們都是 )( 2hO 稱為 三點(diǎn)公式 ? ? 2 ( 4 )0 2 0 0 1 2 1 22139。39。( ) 39。39。 ( ) ( ) ( ) 39。( )23 hf x L x f x f x f x fh ?? ? ? ? ? ?? ? 21 2 1 0 2139。39。( ) 39。 012 xfxfxf解： )(2 ))(()())(()(2 ))(()( 22 1012 2020 212 xfh xxxxxfh xxxxxfh xxxxxL ???? ??????)(2 )()()()(2 )()(39。),(39。( ) ( / 2) ( ) ( / 2)f x D h D h D h? ? ?數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS f(x)=exp(x) h f’() R(x) h f’() R(x) 例： 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。( ) ( ) 2 39。( ) ( ) ( ) 239。( ) ( ) ( )39。)(22212000hOfhffhhhxfhxfxfxR????????????中心差商 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由誤差表達(dá)式， h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有個(gè)最佳步長(zhǎng) 我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來(lái)確定 設(shè) D(h),D(h/2)分別為步長(zhǎng)為 h,h/2的差商公式。39。)(39。39。39。( ) ,2 ! 3 !hhf x h f x h f x f x f x x hhhf x h f x h f x f x f x h x????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?因此，有誤差 )()(39。39。39。( ) ,2 ! 3 !( ) ( ) 39。39。39。 000????由 Taylor展開(kāi) 230 0 0 0 1 0 1 0230 0 0 0 2 0 2 0( ) ( ) 39。!2)()()(39。)()( ??因此，有誤差 )()(39。39。)( 000 hOfhh xfhxfxfxR ??????? ?向前差商 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS hhxfxfxf )()()(39。39。!2)(39。 000???由 Taylor展開(kāi) hxxfhxhfxfhxf ??????? 002000 ),(39。數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第二章 數(shù)值微分和數(shù)值積分 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 數(shù)值微分 hhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfhhh 2)()(l i m)()(l i m)()(l i m)(39。000?????????????1. 函數(shù) f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值， 2. 函數(shù) f(x)過(guò)于復(fù)雜 這兩種情況都要求我們用數(shù)值的