[電腦基礎(chǔ)知識(shí)]第3章數(shù)值積分(編輯修改稿)
2025-03-18 07:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ NewtonCotes)公式是一種插值型的求積公式，故由定理 2可知，它至少具有 n次代數(shù)精度。 定理 3 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)， NewtonCotes公式至少具有 n＋ 1次代數(shù)精度。 F(n+1） (x)=(n+1)! ?(x)=(xx0)(xx1)…(x xn) X=a+th xj=a+jh Dx=hdt X=a t=0 X=b t=n 令 t=u+n/2 dt=du t=n u=n/2 t=0 u=n/2 牛頓－柯特斯公式 三、 Simpson公式的余項(xiàng) 首先 ,復(fù)習(xí)第一積分中值定理 .若函數(shù) f(x),g(x)在區(qū)間 [a,b]上有界且可積， f(x)連續(xù) ,g(x)在區(qū)間 [a,b]內(nèi)不變號(hào)，則在 [a,b]內(nèi)至少存在一個(gè)數(shù) ξ (aξ b),使得 ?? ?babadxxgfdxxgxf )()()()( ?)2bac b,(a )(f2 8 8 0a)(b )]()(4)([6)()((4)5?????????? ???bfcfafabdxxffEba定理 4 f(x)在 [a,b]有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Simpson公式有下列誤差估計(jì) 1uh h)(abuh bx1u h h)(aauh ax1)h ( u2haxa2hxbx1)h ( uhuhaxh d udxu h haxuhh)(ax)())h(a)((!4)()(ha2a2 2abh 2)())((!4)()(2)4(2)4(?????????????????????????????????????????????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)令babadxbxxaxffEbacbacdxbxcxaxffE??)(2 8 8 0)a(b ]u31u51[h !4)( u)uu(h !4)( u)1u(uh!4)( uh)1u(hhu)1u(h!4)( )())h(a)((!4)()()4(511355)4(11245)4(11225)4(1122)4(2)4(??????ffdfdfdfdxbxxaxffEba????????????????????????????????????????????????5n )(120962754n )(94583n )(803 2n )(2880a)(b)(901n )(12)(( 6)7( 6)7( 4)5( 4)5( 4)539。39。3??????fhfhfhffhfhfE幾個(gè)低階的 NewtonCotes公式余項(xiàng) 龍貝格算法 由定理 4可以看出：對(duì)給定的被積函數(shù) f（ x） ， 當(dāng)積分區(qū)間縮短時(shí) ， 求積誤差以更快的速度減小 。 因此在實(shí)際計(jì)算中為了保證計(jì)算的精度 ， 往往首先用分點(diǎn) xk=a+kh， h=（ ba） /n （ k=0， 1， … ,n） 將區(qū)間[a,b]分成 n個(gè)相等的子區(qū)間 ， 而后對(duì)每個(gè)子區(qū)間再應(yīng)用梯形公式或 Simpson公式 ， 分別得到 ： ])b()x(2)x(4)a([6h])x()x(4)x([6hSS i m p s o nk h )f(a2)()(2h1n1kk1n0k21k1k21k1n0kkn1n1knfffffffbfafT??????????????????????公式復(fù)化］［復(fù)化梯形公式( 3 . 2 ) 3134])x(2f ( b )[ f ( a )6h ])x(4)b(2)a([262h ])x(2)x(4)x(4)b()a([6h])b()x(2)x(4)a([6hSS i m p s o n21n1kk12n0kk11n1kk1n1kk1n0k21k1n1kk1n0k21knnnnTTSfffffffffffff???????????????????????
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