[工學]第二章1插值法(編輯修改稿)
2025-02-15 10:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??使 28 于是 將它代入（ ），就得到余項表達式（ ） . 余項表達式只有在 的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用 . )(xf 但 在 內(nèi)的具體位置通常不可能給出， ?),( ba如果可以求出 那么插值多項式 逼近 的截斷誤差限是 ,)(m a x 1)1( ???? ? nnbxa Mxf )(xLn)(xf.)()!1()( 11 xnMxR nnn ???? ?（ ） ),(,)!1( )()( )1( banfxK n ??? ? ?? x且依賴于 29 當 時，線性插值余項為 1?n),)()((21)()(21)( 1021 xxxxfxfxR ???????? ???],[ 10 xx?? （ ） 當 時，拋物插值余項為 2?n),)()()((61)( 2102 xxxxxxfxR ??????? ?],[ 20 xx?? （ ） 30 由題意 , 取 ,3 1 4 5 6 , 00 ?? yx., 22 ?? yx（ 1）用線性插值計算， 的值并估計截斷誤差 . ,3 3 3 4 8 i n,3 1 4 5 6 i n ??, in ?,3 3 3 4 8 , 11 ?? yx例 1 已知 in用線性插值及拋物插值計算 解 , 10 ?? xx取 由公式（ ） 31 )3 3 6 (3 3 6 in 1L?01 89 45 6 ???)( 00101 xxxyyy ?????.?32 由 （ ） ,其截斷誤差 ,))((2)( 1021 xxxxMxR ???其中 )(m a x102xfM xxx ??? ??于是 )( i n)( 11 LR ?? ????xxxx s inm a x10?? ?? ,3 3 3 in 1 ?? x. 5???33 （ 2） 用拋物插值計算，由公式（ ）得 ))(())(())(())(( i n21012012022210 xxxx xxxxyxxxx xxxxy ?? ????? ???))(())((1202102 xxxx xxxxy ?? ???)(2L?3 3 3 4 8 0 0 107 6 8 1 4 5 6 4 ???? ? 44 ?? ??????3 3 0 3 7 ?34 由（ ） ,截斷誤差限 ,))()((6)( 21032 xxxxxxMxR ????其中 )(m a x203xfM xxx ???? ??于是 這個結(jié)果與 6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣， 0cos x? ,?這說明查表時用二次插值精度已相當高了 . 35 )( in)( 22 LR ?? ?????.101 7 6???36 均差與牛頓插值公式 插值多項式的逐次生成 利用插值基函數(shù)很容易得到 Lagrange插值多項式，公 式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當插值節(jié)點增減 時全部插值基函數(shù) 均要重新計算 . ),1,0)(( nkxl k ??【 Lagrange插值多項式的缺陷 】 37 ),()(),()( 111001 xfxPxfxP ??利用點斜式直線方程得 為了克服這一缺點，我們設(shè)計一種逐次生成插值多項式的方法： 對 n=1,插值多項式 滿足 )(1 xP).()()()()( 0010101 xxxxxfxfxfxP ?????它可看成零次插值 的修正： )()( 00 xfxP ?),()()( 01001 xxaxPxP ???其中 是函數(shù) 的差商 . 01011 )()(xxxfxfa??? )(xf38 ,)()(01011 xx xfxfa ???.)()()()())(()()(1201010202120221222 xxxxxfxfxxxfxfxxxxxPxPa???????????其中 ),)(()()( 1020222 xxxxaxxaaxP ?????? 對 n=2， 插值多項式 可表示為 )(2 xP這里 是函數(shù) 的“差分的差分 ” ，稱為“ 二階差分 ” ，也稱“均差” . 2a )(xf39 ???????? ))(()()( 102022 xxxxaxxaaxP n)()( 10 ???? nn xxxxa ?（ ） 其中 為待定系數(shù)， naaa ?, 10),1,0()( njfxP jjn ???確定 . 一般地，插值多項式 表示為如下便于計算的形式 可由 個插值條件 1?n)(xPn（ ） 40 稱 為函數(shù) 關(guān) 于點 的 一階均差 . 000 )()(],[ xx xfxfxxfkkk ??? )(xfkxx ,0110010 ],[],[],[ xx xxfxxfxxxfkkk ???稱為 的 二階均差 . )(xf定義 2 均差及其性質(zhì) 41 11102022 ],[],[],[??????kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf ???（ ） 一般地，稱 為 的 階均差 k)(xf （均差也稱為差商） . 42 均差有如下的 基本性質(zhì) ： .)())(()()(],[0 11010?? ?? ?????kj kjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf??? （ ） 這個性質(zhì)可用歸納法證明 . 1176。 階均差可表為函數(shù)值 的線 性組合， )(,),(),( 10 kxfxfxf ?k 這性質(zhì)也表明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，稱為均差 的 對稱性 . 即 43 3176。 若 在 上存在 階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點 )(xf ],[ ba n],[, 10 baxxx n ??].,[,! )(],[ )(10 banfxxxf nk ?? ??? （ ） 這公式可直接用羅爾定理證明 . .],[],[],[010110 xx xxfxxfxxxfkkkk
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