【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )(13())(( )32)(12())(()31)(21())(( ))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120212102??????????????????????????????????xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL00 60 ))((!2)( 21 ???? ?eR))()((!3)( 12 ????? ?eR課后題 ： 當(dāng)時(shí) ， ，求 的二次插值多項(xiàng)式。 已知函數(shù) 的觀察值如下： 試求其拉格朗日插值多項(xiàng)式。 167。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 2,1,1 ??x ? ? 4,3,0 ??xf ? ?xf? ?xfy ?iixiy0 1 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 167。 2 分段低次插值 ?高次插值中的問題 一般來說，適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，會(huì)提高插值結(jié) 果的準(zhǔn)確程度。但是，提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，插值多項(xiàng)式 會(huì)變得復(fù)雜，計(jì)算量加大。并且高次插值多項(xiàng)式往往具有數(shù) 值不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，會(huì)產(chǎn)生高次插值不準(zhǔn)確的 龍格現(xiàn)象 。 所以當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù) n+1較大，特別是插值區(qū)間也較大時(shí) ，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。常用的有 分 段線性插值 和 分段拋物線插值 。分段低次插值的優(yōu)點(diǎn)是公式 簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且避免了 計(jì)算機(jī)上作高次乘冪時(shí)常遇到的上溢和下溢。 167。 2 分段低次插值 ?原因 ： (1)由拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)，當(dāng)差值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)， 的變化可能會(huì)很大，那么 可能很大；特別 是當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)比較分散、插值區(qū)間較大時(shí)， 也比較大， 這樣就造成了近似時(shí)的截?cái)嗾`差較大； (2)當(dāng) n增大時(shí)，拉格朗日插值多項(xiàng)式次數(shù)增加，計(jì)算量急劇 增大，這樣就加大了計(jì)算過程中的舍入誤差。 )()1( xf n?)(m a x )1( xfM nbxan ????)(1 xn??167。 2 分段低次插值 ?分段線性插值 設(shè)在區(qū)間 上有節(jié)點(diǎn) ，函數(shù) 在上述節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為 ，連接相鄰 兩點(diǎn) ，得到一條折線函數(shù) ，如果滿足： （ 1） 在區(qū)間 上連續(xù)； （ 2） ； （ 3） 在每個(gè)子區(qū)間 上是線性函數(shù)， 則稱折線函數(shù) 為 分段線性插值函數(shù) 。 ],[ ba bxxxxa nn ?????? ? 110 ? )(xf),2,1,0( )( nixfy ii ???)1,1,0( ),( ),( 11 ???? niyxyx iiii ?)(x?)(x?)(x? ],[ ba),2,1,0( )( niyx ii ????],[ 1?ii xx)(x?167。 2 分段低次插值 在每個(gè)子區(qū)間 上可以表示為 從幾何上講，分段線性插值就是用一條過 n+1個(gè)點(diǎn) 的折線來近似表示 。 在整個(gè)區(qū)間上用基函數(shù)來表示可以寫為 )(x? ],[ 1?ii xx)1,2,1,0( ,)( 1111 ???????????? niyxxxxyxxxxxiiiiiiii ??),(,),(),( 1100 nn yxyxyx ? )(xf)(x?bxaxlyxniii ??? ?? ,)()(0?167。 2 分段低次插值 ?分段拋物線插值 分段拋物線插值就是把區(qū)間 分成若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè) 子區(qū)間 上用拋物線去近似曲線，則 用 表示分段拋物線插值函數(shù) 有下列性質(zhì)： (1) 在區(qū)間 上是連續(xù)函數(shù)； (2) ； (3)在每個(gè)子區(qū)間上 ， 是次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式 ],[ ba)1,2,1(],[ 11 ???? nixx ii ?)(x?11111111111111))(())(())(())(())(())(()(?????????????????????????????iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx?)(x?)(x?)(x? ],[ ba),2,1,0( )( niyx ii ????],[ 11 ?? ii xx167。 2 分段低次插值 ?插值點(diǎn)選擇 ： 選擇插值點(diǎn)的原則是盡可能在插值點(diǎn)的鄰近。公式中 i的取法 歸結(jié)為 ???????????????????????????????111111 ,11,3,2, ,1,3,2, ,1 ,1nkkkkkkkkxxnnkxxxxxxxknkxxxxxxxkxxi??167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項(xiàng)式 拉格朗日插值法有一個(gè) 缺點(diǎn) ，當(dāng)有了新的數(shù)據(jù)，插值節(jié) 點(diǎn)增加時(shí)，插值多項(xiàng)式需要重新構(gòu)造和計(jì)算，之前的計(jì)算結(jié) 果無法繼續(xù)利用。從構(gòu)造算法的 一般原則 來說，應(yīng)設(shè)法 充分 利用已經(jīng)獲得和計(jì)算的數(shù)據(jù)信息 。為了克服拉格朗日插值法 的缺點(diǎn)，介紹牛頓插值多項(xiàng)式。它使用比較靈活，增加插值 節(jié)點(diǎn)時(shí)，只是在原來的基礎(chǔ)上增加部分計(jì)算量，原來的計(jì)算 結(jié)果仍可繼續(xù)利用，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。 167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項(xiàng)式 ?差商 的定義 已知函數(shù) 在 n+1互異節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值 分別為 ，稱 為 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的 一階差商 （平均變化率）。 稱 為 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的 二階差商 。 )(xf nxxxx ???? ?210)(,),(),( 10 nxfxfxf ?iiiiii xxxfxfxxf??????111)()(],[)(xf 1, ?ii xxiiiiiiiii xxxxfxxfxxxf?????????212121],[],[],[21 , ?? iii xxx)(xf167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項(xiàng)式 一般地，稱 為 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的 階差商 。 當(dāng) 時(shí)稱 為 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的 零階差商 ，記為 由于 所以 即差商是微商的離散形式。 ikikiiikiiikiii xxxxxfxxxfxxxf????????????],[],[],[ 11211???)(xf kiii xxx ?? , 1 ? k0?k )( ixf )(xf ix ][ ixfiiiixxi xxxfxfxfii ???????? 11 )()(l i m)(1],[l i m)( 11 ????? iixxi xxfxfii167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項(xiàng)式 ?差商性質(zhì)： （ 1）函數(shù) 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的 k階差商 可以表示為函數(shù)值 的線性組合，即 式中， 如果 ，則其在 的導(dǎo)數(shù)為 )(xf kxxx , 10 ? ],[ 10 kxxxf ?)(,),(),( 10 kxfxfxf ??? ???kj jkjk xxfxxxf0 110 )()(],[??)())(())(()( 11101 kjjjjjjjjk xxxxxxxxxxx ??????? ??? ???)())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ?? ixx?)())(())(( )(l i m)()(l i m)(11101111niiiiiiiinxxiinnxxinxxxxxxxxxxxxxxxxxxii??????????????????????????167。 3 差商與牛頓（ Newton）插值多項(xiàng)式 （ 2）差商與其所含節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，即 一般地，在 k階差商 中，任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序 ，其值不變。 （ 3）設(shè) 在包含互異節(jié)點(diǎn) 的閉區(qū)間 上有 n 階導(dǎo)數(shù)，則 n階差商與 n階導(dǎo)數(shù)之間有如下關(guān)系 ],[],[ 11 iiii xxfxxf ?? ?],[],[],[ 122121 iiiiiiiii xxxfxxxfxxxf ?????? ??],[ 10 kxxxf ?)(xf nxxx , 10 ? ],[ ba),( ,! )(],[)(10 banfxxxf nn ?? ???167。 3 差商與牛頓（ Newton