計(jì)算方法第五章ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-30 07:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0 1T T T s t o p? ? ?1( 1 / 8 ) ( 1 / 8 ) [ ( 1 / 8 ) ( 1 / 4 ) ] 3 . 1 4 1 5 9 2 53S T T T? ? ? ? 代數(shù)精度與待定系數(shù)法： 一般地 ， 取 內(nèi)若干個(gè) (n個(gè) )節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值 ， 求積公式可以表示為： 定義：稱求積公式具有 m階（代數(shù)）精度 ，如果它對(duì)于一切不超過(guò) m次多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的，但對(duì)于 m+1次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確。 取 f(x) = 1 , x … ， 容易推出系數(shù)滿足： ? ?,ab ix ? ?ifx? ? ? ?0nbiiaif x d x A f x?? ??2200110, ( ) / 2 , ,( ) / 1nni i iiinm m miiiA b a A x b aA x b a m?????? ? ? ?? ? ???? 廣義皮亞諾定理 廣義皮亞諾定理：設(shè)下面的積分計(jì)算公式具有 m階代數(shù)精度 則其計(jì)算誤差為： ? ?0[]niiiQ f A f x?? ?( 1 )01[ ( ) ] [ ( ) ]()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ![ , ]mmiR f x R e xfxe x x x x x x xmx a b??? ? ? ??? 求積公式的舍入誤差 舍入誤差分析表明：求積分公式 的系數(shù)一般要大于零！ n較大時(shí)的牛頓－柯特斯公式由于有系數(shù)小于零，所以不能用！ ? ? ? ?0[]nbiiaiI f f x d x A f x??? ??第二節(jié) 龍貝格積分法 復(fù)化梯形公式計(jì)算值與積分精確值之間有如下關(guān)系 (h為步長(zhǎng) )： 因此，用 作為積分精確值 的近似值，誤差為： 容易看出： 則 2412[ ] ( )I f T h a h a h? ? ? ?()Th []If2 4 212 ()a h a h O h? ? ?00104 ( / 2 ) ( )( ) , ( ) ( )3T h T hT h T h T h???461 2 3[ ] ( )I f T h b h b h? ? ? ?由此可得龍貝格積分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推法）： 的計(jì)算誤差為 。 下面，給出龍貝格積分法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的具體計(jì)算步驟。 引入記號(hào) ， i 表示將區(qū)間 [a , b] i 等分。 步驟如下： 02112( ) ( )2 ( / 2 ) ( )()21kkkk kT h T hT h T hTh ?????? ?????()kTh 2 ( 1 )()kOh ?00, ( / 2 )i i ikT T T h?求 把區(qū)間二等分，計(jì)算 把區(qū)間再對(duì)分（設(shè) 等分）計(jì)算 ，依次計(jì)算 最后求出 如 ，則可以將 作為積分的值，否則繼續(xù)按照第三步計(jì)算。 0000, [ ( ) ( ) ]2baT T f a f b???100 ( / 2 )T T h?1 0 1 0010 0 0 01044 1 4 1T T T TTT ??? ? ?0iT2m1111 1 1 111 , 2 , 3 , ,4 ,0 , 1 , ,4 1 4 1k i i i iii k k k kkk kkkmT T T TTTi m k???? ? ? ?????? ? ???0mT001mmTT? ?計(jì)算流程為（ 稱為 T 數(shù)表 ）： 0010012 1 00 1 23 2 1 00 1 2 3TTTT T TT T T T用梯形公式計(jì)算 例：計(jì)算 首先： 按流程得下表 1011I dxx? ??( 1 ) 0 . 7 5 , ( 1 / 2 ) 0 . 7 0 8 3 3 3( 1 / 4 ) 0 . 6 9 7 0 2 4 , ( 1 / 8 ) 0 . 6 9 4
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