計(jì)算方法第五章ppt課件(完整版)
【正文】 第三節(jié) 高斯型求積公式 更一般地，研究帶權(quán)函數(shù)的積分 本節(jié)目的：研究 n + 1 個節(jié)點(diǎn) 的求積公式的代數(shù)精度。,STATUS=UNKNOWN) OPEN(20,FILE=39。第五章 數(shù)值微積分 第一節(jié) 等距節(jié)點(diǎn)求積公式 本章研究核心課題： 給定一個已知 f(x)， 求其在區(qū)間上的積分。39。 可以證明，上面公式的代數(shù)精度不超過 2n+1， 稱具有 2n+1階代數(shù)精度的如上所示的求積公式為 高斯型公式 。 3311221111( ) ( )()66( ) ( )66[ , ] , 1 , 2 , ,jjjjjjj j j j j jjjjjjjx x x xS x M MhhM h x x M h x xyyhhx x x j N????????????? ? ? ???設(shè) 111 2( ) ( 2 ) ( )6()2j j jj j j jjjjjjjy y hf x M M M x xhhMMxxh????? ? ? ? ? ????1[ , ]jjx x x??1( ) ( )2jjjjjMMf x M x xh???? ? ? ?1() jjjMMfxh????? ?小結(jié) 本章所介紹的數(shù)值積分公式和數(shù)值微分公式，其 核心思想是用插值多項(xiàng)式作為近似 ，從而求出積分和微分。 利用代數(shù)精度的概念，可以 用待定系數(shù)法確定求積和求導(dǎo)公式 。 代數(shù)精度為 m=2n+1的充要條件是節(jié)點(diǎn)為 [a,b]上相對權(quán)函數(shù) 的 n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，且積分公式的系數(shù)滿足 ( ) ( )biiaA x l x dx?? ?()ilx( ) ( )biiaA x l x dx?? ?高斯公式的構(gòu)造： 節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)選為區(qū)間 [a , b]上關(guān)于 權(quán)函數(shù) 的 n + 1 次正交多項(xiàng)式 的零點(diǎn)， 系數(shù)： 為拉格朗日插值基函數(shù)，則高斯積分公式的系數(shù)為 高斯公式為 誤差： ()x?1 ()ngx?()ilx( ) ( )biiaA x l x dx?? ?0[ ] ( )niiiQ f A f x?? ?( 2 2 )201()[ ] ( ) ( )( 2 2 ) !( ) ( ) ( ) ( )nbanfR f x x d xnx x x x x x x???????? ? ? ??常用的高斯型求積公式： Gauss－ Legendre（ 高 斯－勒讓德）公式 Gauss－ Laguerre（ 高 斯－拉蓋爾）公式 11 0( ) ( )niiif x d x A f x? ?? ??2 3 4( 2 2 )32 [ ( 1 ) ! ][ ] ( ) , 1 1( 2 3 ) [ ( 2 2 ) ! ]nnnR f fnn ?????? ? ? ???0 0( ) ( )nxiiie f x d x A f x? ??? ??2( 2 2 )[ ( 1 ) ! ][ ] ( ) , 0( 2 2 ) !nnR f fn ????? ? ? ?? Gauss－ Hermite（ 高 斯－埃爾密特）公式 高 斯－切比雪夫公式 20( ) ( )nxiiie f x d x A f x? ??? ?? ??( 2 2 )1( 1 ) ![ ] ( ) ,2 ( 2 2 ) !nnnR f fn? ?????? ? ? ? ? ??121 0( ) 2 1( c o s )1 2 21nif x id x fnnx? ?? ?????? ??( 2 2 )21[ ] ( ) , 1 12 ( 2 2 ) !nnR f fn? ????? ? ? ??第四節(jié) 數(shù)值微分 基本數(shù)值微分公式： 方法：利用插值多項(xiàng)式代替被求導(dǎo)的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，將求出的導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。 對于梯形法，步長二分前后梯形公式值有如下遞推關(guān)系式：
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