計算方法第五章ppt課件-wenkub.com
2025-04-30 07:08 本頁面
【正文】 外推法是一種獲得高精度計算結(jié)果的算法。對上式直接求導函數(shù)的 3階數(shù)值導數(shù)公式。于是： 特別，在節(jié)點處導數(shù)值為： ( ) ( ) ( )0( ) ( ) ( )nk k kn i iif x L x y l x??? ?( ) ( ) ( )0( ) ( ) ( ) , 0 ,1 , ,nk k kj n j i i jif x L x y l x j n?? ? ??( 1 )( ) ( )01()[ ] ( ) ( ) ( )( 1 ) !( ) ( ) ( ) ( )nkkk xjn knfdR f f x L x xdx nx x x x x x x??????? ? ? ?????? ? ? ?在等距節(jié)點情況下，可得常用的數(shù)值微分公式： 兩點公式： 三點公式： 0 1 01 1 01( ) ( ) ( )21( ) ( ) ( )2hf x y y fhhf x y y fh???? ??? ? ????? ? ??? ? ???20 0 1 221 0 222 0 1 21( ) ( 3 4 ) ( )231( ) ( ) ( )261( ) ( 4 3 ) ( )23hf x y y y fhhf x y y fhhf x y y y fh????? ???? ? ? ? ????? ???? ? ? ????? ???? ? ? ???二階數(shù)值微分公式： 2( 4 )0 0 1 2 122( 4 )1 0 1 222( 4 )2 0 1 2 121( ) ( 2 4 ) ( ) ( )61( ) ( 2 ) ( )121( ) ( 2 ) ( ) ( )6hf x y y y h f fhhf x y y y fhhf x y y y h f fh???????? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ???? ? ? ? ???代數(shù)精度： 如果數(shù)值導數(shù)公式對于所有不超過 n 階多項式是準確的，稱 此公式具有 n 階代數(shù)精度。 0000, [ ( ) ( ) ]2baT T f a f b???100 ( / 2 )T T h?1 0 1 0010 0 0 01044 1 4 1T T T TTT ??? ? ?0iT2m1111 1 1 111 , 2 , 3 , ,4 ,0 , 1 , ,4 1 4 1k i i i iii k k k kkk kkkmT T T TTTi m k???? ? ? ?????? ? ???0mT001mmTT? ?計算流程為（ 稱為 T 數(shù)表 ）： 0010012 1 00 1 23 2 1 00 1 2 3TTTT T TT T T T用梯形公式計算 例：計算 首先： 按流程得下表 1011I dxx? ??( 1 ) 0 . 7 5 , ( 1 / 2 ) 0 . 7 0 8 3 3 3( 1 / 4 ) 0 . 6 9 7 0 2 4 , ( 1 / 8 ) 0 . 6 9 4 1 2 2II???? 0iT 3iT2iT1iT第三節(jié) 高斯型求積公式 更一般地，研究帶權函數(shù)的積分 本節(jié)目的：研究 n + 1 個節(jié)點 的求積公式的代數(shù)精度。 取 f(x) = 1 , x … ， 容易推出系數(shù)滿足： ? ?,ab ix ? ?ifx? ? ? ?0nbiiaif x d x A f x?? ??2200110, ( ) / 2 , ,( ) / 1nni i iiinm m miiiA b a A x b aA x b a m?????? ? ? ?? ? ???? 廣義皮亞諾定理 廣義皮亞諾定理：設下面的積分計算公式具有 m階代數(shù)精度 則其計算誤差為： ? ?0[]niiiQ f A f
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