【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 四階差商 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 4 7 8 6 3 3 0 1 1 1/3 2 3/2 1/6 1/24 )()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3)1(1)(241314????????????????????xxxxxxxxxxxN112332248331294241 ????? xxxx 若增加數(shù)據(jù)點(diǎn) (6,10), 求五次牛頓插值多項(xiàng)式 ? k xk f(xk) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 0 1 2 3 4 5 .)( )( 的近似值，估計(jì)誤差，計(jì)算求四次牛頓插值多項(xiàng)式的函數(shù)表，給定fxf例2P32例 4 ,)()(),)()()(( ))()(( ))(()()(44?????????????????NfxxxxxxxxxxxN做出差商表，得到],,[)())(()( 4104104 xxxxfxxxxxxxR ?? ????.|)(],[||)(| 955104 ???? ?xxxfxR ?040 .5 9 6 ( ) 0 .6 3 1 9 2 , [ , , , ] .x f x f x x x??或 由 和 得 的 近 似 值*167。 4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 .,4 . 3 )( , : 4 . 2 )( , : 4 . 1 )( , : . ,)(),1,0(1)(2121110向后和中心差分算子分別稱為向前和中心差分向后差分向前差分為常數(shù)，稱為步長(zhǎng)這里函數(shù)值上的個(gè)等距節(jié)點(diǎn)在已知????????????????????kkkkkkkkkiiiffffffffΔfhfxfniihxxnxf定義3?上節(jié)討論任意分布節(jié)點(diǎn)的插值公式，應(yīng)用時(shí)常碰到等距節(jié)點(diǎn)的情形，此時(shí)插值公式可簡(jiǎn)化，為此先介紹差分． 一、差分及其性質(zhì) .2 1212 kkkkkk ffffff ???????? ???階差分利用一階差分可定義二 . 。 111111????????????????kmkmkmkmkmkmffffffm 階差分一般地可定義.: , , :21212121211????????????kkkkkkkkkfffffffff?????二階中心差分一階中心差分?.: , 1??? kkkk fEfEfIfI 移位算子：引進(jìn)不變算子. ,)(IEΔfIEIfEfΔf kkkk?????? 可得到則. , 2/12/11 ?? ????? EEEI ?同理，差分的基本性質(zhì) : ( 4 . 4 ) ,)1()1()( ( 1 )00 fjnfEjnfIEfnjjknjnjkjnjknkn??????????????????????????如：差分可用函數(shù)值表示，( 4 . 5 ) ,)1( )1()(001 fjn fEjnfEIfnjnjkjnnjknjjnknkn?????????????????????????????）（如：函數(shù)值可用差分表示， .)( ( 2 )00????? ??????????????????????????njkjknjjknknkn fjn fjnfIfEf,2],[],[],[ ,],[ ( 3 )22212121111hfxxxxfxxfxxxfhfxxffxxfkkkkkkkkkkkkkkkkk???????????????????差商與差分關(guān)系，如：）（一般地， .!1],[ kmmmkk fhmxxf ????）（ .!1],[ kmmmkk fhmxxf ??? ??）（以及 ).,(),( )( nkknnkn xxfhf ???? ??差分表 : ?2f0 ?2f1 ? ┆ ?2f2 ┆ ┆ ?f0 ?f1 ?f2 ?f3 ┆ f0 f1 f2 f3 f4 ┆ 0 1 2 3 4 ┆ ?2 ?3 ? ? fk k )(?)( 1f?)( 2f?)( 3f?)( 4f?)( 2? )( 3?)( 22 f?)( 32 f?)( 42 f?)( 3303 ff ??)( 4313 ff ??)( 4404 ff ??)( 44 ??( 4 . 1 1 ) ),( ),()!1( )()1()( 0)1(1 nnnn ,xxfhn ntttxR ?? ??? ?? ???時(shí)，當(dāng)函數(shù)值上的個(gè)等距節(jié)點(diǎn)在已知)10( ,)(),1,0(1)(00?????????tthxxfxfniihxxnxfiii ?二、等距節(jié)點(diǎn)插值公式 ,)()1()()( 101???????? ? kkj jkhktttxxx ??],[)())(( ],[))((],[)(][)(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN????????????????,!1],[ kmmmkk fhmxxf ????( 4 . 1 0 ) . ,!)1()1(!2)1()( 002022牛頓前插公式fnntttfttftfthxN nn ???????????????P34 ],[)())(( ],[))(( ],[)(][)(,0111211101xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNxxxnnnnnnnnnnnnnnnn??????????????????????則次序?yàn)樵谂ｎD插值公式中節(jié)點(diǎn)( 4 . 1 3 ) ),( ),()!1( )()1()( 0)1(1 nnnn ,xxfhn ntttxR ?? ???? ?? ???( 4 . 1 2 ) ,!)1()1(!2)1()(,)01(2nnnnnnnnfnntttfttftfthxNtthxx????????????????????時(shí)當(dāng)],[)())(()( 0101 xxxxfxxxxxxxR nnnnn ??? ?? ????. )(|)()(|!5| i n|)(.)(7544?????????????RN插公式得到做出差商表，用牛頓前.)()( ,6,1,0,c o s)( 近似值，并計(jì)誤差的及算用四次等距插值公式計(jì)函數(shù)值，處的的在給出ffhkkhxxxf k ???? ?例3. )(|)()(|!5| i n|)(.)(7544????????????????RN用牛頓后插公式得到，167。 5 Hermite插值 .He r mi t e ,) 插值問(wèn)題埃爾米特( .種插值問(wèn)題稱為這相等導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值在某些節(jié)點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的的而且要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等不少插值問(wèn)題不僅要求( 5 . 1 ) .,1,0 ,)( ,)( )(12 ,1,0,)()(112121210nifxHfxHxHnnifxffxfbxxxaniiniinniiiin??????????????????????? 滿足次的多項(xiàng)式超過(guò)要求一個(gè)次數(shù)不和上已知個(gè)節(jié)點(diǎn)著重討論一種情況：在次多項(xiàng)式，且滿足是都和函數(shù)采用基函數(shù)法，插值基12),1,0)(()(??nnjxx jj ???( 5 .2 ) ),1,0,( .)( ,0)( 。0)( ,)( nkjxxxx