【文章內(nèi)容簡介】 x?0)( 01 ?? x? 0)( 11 ?? x?0)( 10 ?? x?0)( 01 ?? x? 1)( 11 ?? x?Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值 可知 即可假設(shè)的二重零點(diǎn)是 ,)(01 xx ? )()()( 210 baxxxx ????1)( 00 ?x? 0)( 00 ?? x?由 可得 310 )(2xxa ??? 3100210 )(2)(1xxxxxb ????)()()( 210 baxxxx ????21 )( xx ?? ?????? 310 )(2xxx???????? 3100210 )(2)(1xxxxx21021)()(xxxx????????? 102xxx?????? 10021xxx????????????01021xxxx2101??????????xxxx )())(21( 201 xlxl ???Lagrange 插值基函數(shù) Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 )(1 x? )())(21( 210 xlxl ???類似可得 )(0 x? )()( 200 xlxx ???)(1 x? )()( 211 xlxx ???????????????10121xxxx2010??????????xxxx? ?0xx ?? 2101??????????xxxx2010??????????xxxx? ?1xx ??)(0 x?????????????01021xxxx2101??????????xxxx)())(21( 201 xlxl ???即 將以上結(jié)果代入 多項(xiàng)式插值 Hermite插值 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值 )()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????得兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次 Hermite插值公式 )()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????)())(21( 2101 xlxly ???)()( 2022 xlxxy ???? )()( 2111 xlxxy ????)())(21( 2022 xlxly ???????????????1011 21 xxxxy2010??????????xxxx? ?00 xxy ??? 2101??????????xxxx2010??????????xxxx? ?11 xxy ???????????????0100 21 xxxxy2101??????????xxxxComputational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值的插值余項(xiàng) 兩點(diǎn)三次 Hermite插值的余項(xiàng)為 )()()( 33 xHxfxR ??2120)4(3 )()(!4)()( xxxxfxR ??? ? 10 xx ?? ?【 例 3】 1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(???????ffxfffxf處的導(dǎo)數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)已知.,)(,)( 處的函數(shù)值在及的兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式求 ?xxfxfComputational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值的插值余項(xiàng) 【 解 】 : 2,110 ?? xx 3,2 10 ?? yy 1,0 10 ????? yy)()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????????????????1011 21 xxxxy2010??????????xxxx? ?00 xxy ??? 2101??????????xxxx2010??????????xxxx? ?11 xxy ???????????????0100 21 xxxxy2101??????????xxxxComputational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 ? ?)2(213 ??? x ? ?21?x? ?21?x? ?2?? x? ?)1(212 ??? x ? ?22?x)(3 xH917133 23 ????? xxx)(f )(3H? ?)(f )(3H? ?作為多項(xiàng)式插值 ,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象 ,因此，對(duì)有 n+1節(jié)點(diǎn)的插值問題，我們可以使用分段兩點(diǎn)三次 Hermite插值 。 多項(xiàng)式插值 Hermite插值的插值余項(xiàng) Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 分段三次 Hermite插值 niyxbaxf ii ,1,0,],[)( ??上的函數(shù)值為上的節(jié)點(diǎn)在設(shè)函數(shù)niyx ii ,1,0, ???上的導(dǎo)數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)1, , 0 , 1 , , 1kkx x k n? ??對(duì) 任 意 兩 個(gè) 相 鄰 的 節(jié) 點(diǎn)可構(gòu)造兩點(diǎn)三次 Hermite插值多項(xiàng)式 )()()()()( )(11)(0)(11)(0)(3 xyxyxyxyxH kkkkkkkkk ???? ?? ??????],[ 1?? kk xxx 1,1,0 ?? nk ?插值基函數(shù)為 H e r m i t exxxx kkkk )(),(),(),( )(1)(0)(1)(0 ????Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 分段三次 Hermite插值 )()(0 xk?)()(1 xk?)()(0 xk? )()(1 xk???????????????1121kkkxxxx 21??????????? kkkxxxx? ?kxx ??211????????????kkkxxxx21??????????? kkkxxxx? ?1??? kxx????????????? kkkxxxx121211????????????kkkxxxx其中 1,1,0,)()( )(33 ??? nkxHxH k ?分段三次 Hermite插值多項(xiàng)式， 余項(xiàng)為 ])()(!4 )([m ax)(m ax)( 212)4(10)(3103 ??????? ???? kknkknkxxxxfxRxR ?212104 )()(m ax!4 ???? ??? kknk xxxxMComputational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 分段插值的思想及優(yōu)缺點(diǎn) 思想： 將圖形分段，每段為一個(gè)低階多項(xiàng)式 Sk(x)，并在相鄰點(diǎn)之間進(jìn)行多項(xiàng)式插值，組成一個(gè)分段的多項(xiàng)式曲線。 分類： （ 1）、分段線性插值 優(yōu)點(diǎn)：簡單； 缺點(diǎn)：連續(xù)但不光滑，曲率不連續(xù)變化。 （ 2）、分段二次多項(xiàng)式插值 優(yōu)點(diǎn)：簡單； 缺點(diǎn)：偶數(shù)點(diǎn) x2k 處曲率變化很大，曲率不連續(xù)變化。 改進(jìn)方法： 利用分段三次樣條插值：分段三次多項(xiàng)式，連續(xù)，光滑，曲率連續(xù)變化，多項(xiàng)式的次數(shù)較低。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 什么是樣條 : 是 指飛機(jī)或輪船等的制造過程中為描繪 出光滑的外形曲線 (放樣 )所用的工具 樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項(xiàng)式拼合而成的曲線 在拼接處 ,不僅函數(shù)是連續(xù)的 ,且一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的 1946年 ,Schoenberg將樣條引入數(shù)學(xué) ,即所謂的樣條函數(shù) Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函