插值法與最小二乘法(編輯修改稿)
2025-05-26 07:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??我們知道 ,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為 形式上太復(fù)雜 ,計算量很大 , 新增一個節(jié)點時 , 每個基函數(shù)必須重新計算 , 人們希望增加一個節(jié)點時 , 前面的計算結(jié)果對于后來的計算仍有用 . 為此 , 下面介紹一種具有結(jié)果繼承性的插值法 Newton插值法 17 ,1 ,0xx? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?考慮多項式組 顯然線性無關(guān)， 因此，可以作為插值基函數(shù) ,ix設(shè)插值節(jié)點為 nif i ,1,0, ??函數(shù)值為nifxP ii ,1,0,)( ???插值條件為)())(())(()()(110102022????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??具有如下形式設(shè)插值多項式 )( xP18 nifxPxP ii ,1,0,)()( ???應(yīng)滿足插值條件000 )( afxP ??有 )()( 011011 xxaafxP ????00 fa ?01011 xxffa???))(()()( 12022021022 xxxxaxxaafxP ???????12010102022 xxxxffxxffa???????再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜 為此引入差商和差分的概念 19 一、差商 (均差 ) 定義 1. nifxxfii ,1,0,)( ??處的函數(shù)值為在互異的節(jié)點設(shè)稱 )(],[ jixx ffxxfjijiji ????)(,)( 均差一階差商關(guān)于節(jié)點為 ji xxxf[ , ] [ , ][ , , ] ( )i j j ki j kikf x x f x xf x x x i j kxx?? ? ??的二階差商關(guān)于為 kji xxxxf ,)(依此類推 稱 20 0 1 1[ , , , , ]kkf x x x x?差商具有如下性質(zhì) (請同學(xué)們自證 )： 且的線性組合表示可由函數(shù)值階差商的,)(,),(),(],[)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf?? ?0 1 1 1 2 10[ , , , ] [ , , , , ]k k kkf x x x f x x x xxx?????稱 為 ()fx 關(guān) 于 節(jié) 點 01 , , , kx x x 的 k 階 差 商 . ],[ 110 kk xxxxf ???? ?? ?????ki kiiiiiiixxxxxxxxxf0 110 )())(()()(??21 (2) 差商具有對稱性 ,即任意調(diào)換節(jié)點的次序 ,差商的值不變 ],[ 210 xxxf ],[ 120 xxxf? ],[ 012 xxxf?如 ,)()3( 10) 的區(qū)間存在時在包含節(jié)點當(dāng) （ kk xxxxf ?使得之間必存在一點在 , 10 ?kxxx ?],[ 10 kxxxf ?用余項的 相等證明 !)()(kf k ??7 4 0 1 70 1 8( ) 3 1 , [ 2 , 2 , , 2 ][ 2 , 2 , , 2 ] .f x x x x ff? ? ? ?例 求 及22 差商的計算方法 (表格法 ): 規(guī)定函數(shù)值為 零階差商 差商表 )()()()()()(4433221100xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四階差商三階差商二階差商一階差商],[ 10 xxf],[ 21 xxf],[ 32 xxf],[ 43 xxf],[ 210 xxxf],[ 321 xxxf],[ 432 xxxf],[ 3210 xxxxf],[ 4321 xxxxf ],[ 410 xxxf ?如果用 Matlab計算均差 , 可用下面的主句 : n=length(x)。 d=f。 %x, f為節(jié)點及函數(shù)值向量 for j=2:n for i=n:1:j d(i)=(d(i)d(i1))/(x(i)x(ij+1))。 end end 23 二、差分 定義 2. 稱處的函數(shù)值為在等距節(jié)點設(shè),1,0,)( 0nkfkhxxxf kk????kkk fff ??? ? 1處的一階向前差分在為 kxxf )(1,1,0 ?? nk ?1???? kkk fff處的一階向后差分在為 kxxf )(nk ,2,1 ??kkk fff ????? ? 12 處的二階向前差分在為 kxxf )(12 ?????? kkk fff 處的二階向后差分在為 kxxf )(24 kmkmkm fff 111 ??? ????? 階向前差分處的在為 m
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