計算方法-插值方法(編輯修改稿)
2025-06-18 04:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x e xxL agrang ex x x x xLx3 1 223( 2)e( 3 1 ) ( 3 2)( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) e ( ) e e( 1 2) ( 1 3 ) ( 2 1 ) ( 2 3 )( 1 ) ( 2) e 65644( 3 1 ) ( 3 2)???? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????xL? ?0 0 6 0 7 0 0 )()()(!2)()( ,m a x122 . 11( 3 )21?????????????eLeRee xx故有誤差估計因 Hermite插值簡介 ( ) ( ) ( i 0 , 1 , , n ):n ii fxxP ??幾何上 兩曲線有公共點前述插值問題 :要求被插函數(shù)與插值多項式在節(jié)點取 相同值 , Lagrange型插值條件 然而 ,實際許多問題還常常要求兩曲線進一步 有共同切線 —— 插值條件為 :求一次數(shù) 12 ?? n求一次數(shù))(12 xH n?的多項式 ，使之滿足給定的 Hermite型插值條件： 2121()()n i in iiyxHxmH????? ),1,0( ni ??yx0 x0 xi xn Hermite插值也叫帶指定微商值的插值 ,它要構(gòu)造一個插值函數(shù) ,不但在給定節(jié)點上取函數(shù)值 ,而且取已 知微 商值 ， 使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好 。 x x 0 x 1 …… x ny y0 y1 …… yny39。 y 39。 0 y 39。 1 …… y 39。 n定義： f(x) 在區(qū)間 [ a, b] 上 n+1個互異節(jié)點a=x0x1x2……x n=b , 定義在 [a,b]上函數(shù) f(x) 在節(jié)點上滿足 f(xi) = yi f’(xi)=y 39。 i i=0,1,2……n 求一個次數(shù)不高于 2n+1次的插值多項式 H(x)滿足 2n+2個條件 H(xi) = yi H 39。(xi)= y 39。 i i=0,1,2……n 若 H(x)存在 ,則叫函數(shù) f(x) 的 Hermite插值多項式 .因為 H(x)是一個次數(shù)不高于 2n+1次的多項式 ,常記為 H2n+1(x). 定理一 :滿足插值條件 H(xi)= yi H39。(xi)= y39。i i=0,1,2…… n 且次數(shù)不大于 2n+1的多項式是唯一的。 定理二 :f(x)在區(qū)間 [a,b]存在 2n+2階導數(shù) ,則其 Hermite插值余項為 : ),()!22( )]()[()()()(2)22(12 banxfxHxfxR nn ??????? ?????(x)=(xx0)(xx1)…...(x xn) 函 數(shù) 構(gòu) 造 設 Hermite插值函數(shù) n n H2n+1(x) = ? Li(x) yi + ? hi(x) y39。i i=0 i=0 Li(x),hi(x)都是不高于 2n+1次的 多項式 ,類似 Lagrange插值 ,利用 Hermite插值條件可得 Li(xj)=?ij hi(xj) = 0 L39。i(xj)=0 h39。i(xj)= ?ij i,j=0,1,2……n 從而可設 Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2 hi(x)= (cix+di)[li(x)]2 ai,bi ,ci,di為待定系數(shù) ,分別由 Li(xi)=1 和 Li′ (xi)=0 及 hi′ (xi)= 1 (i=0,1,2…… ,n)確定 . 2n個二重零點 xk ??? ??? njij jiji xxxxxl0)()()( 這里 ? ? ? ? ? ?20112??????? ? ???????ni i ik ikkiL x x x l xxx? ? ? ? ? ?2??i i ih x x x l x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?210??????????nn i i i iiH x f x L x f x H x那么對應的 2n+1次
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