計算方法(方程組的迭代法)(編輯修改稿)
2025-06-18 04:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 k i j i jj j ia a a aaa? ? ? ???????? ? ?? ? ??????? 1 , 2 , ,in? ? ? ? 這說明? ?k D L U? ??也是嚴格對角占優(yōu)矩 陣。 易證嚴格 對 角 占 優(yōu) 矩 陣 是 非 奇 異 矩 陣 ， 從 而 有? ?d e t 0k D L U??? ? ? ???。這與式 （ * ） 矛盾，矛盾說明1k? ?。由k?的任意性，可得SB的譜半徑? ? 1SB? ?。根據(jù) 定理 5 ． 2 ，可知 Seidel 迭代對任意的初始向量 ? ?0x都收斂 。 第三個判別定理針對線性方程組的系數(shù)矩陣也是比較特殊的矩陣，這種矩陣稱為 對稱正定矩陣 。 定理 5 如果 A 是對稱正定 矩陣，則線性 方程組 A x b? 的 Se i d el 迭代對任何初始向量 ? ?0x都收斂。 利用上述三個判別定理（ 定理 3 ， 4 ， 5 ） ，可以根據(jù)線性方程組 A x b? 的系數(shù)矩陣 A 的特點，可以方便地判斷出對應的 Jacobi 迭代和 Se idel 迭代是否收斂，但要注意它們都是 充分條件 。 例 對 方程組 1 2 31 2 31 2 321121x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ?? 討論用 Jacobi 迭代法和 Se idel 迭代 法求解的收斂性。 解 設 方程組的 Ja cobi 迭代矩陣為 1110221 0 111022JB I D A????????? ? ? ? ????????? 其特征方程為 3112251 1 041122JIB?? ? ? ?????????? ? ? ? ??????????? 計算可得1 2 , 350,2i?? ? ? ?。 由于 ? ? 5 12JB? ?? ，故 J a c obi 迭代法發(fā)散。 又有 Se id e l 迭代矩陣為 ? ?111022110221002SB L D U??????????? ? ? ? ? ??????? ????? 其特征方程為 211221 1 1002 2 21002SIB?? ? ? ?????????????? ? ? ? ? ???????????????? 計算可得1 2 , 310,2?? ? ? ?。 由于? ?112SB? ??，故 Seidel 迭代法收斂 。 注意 用 Se idel 迭代法解方程組時，通常可以比用Jacobi 迭代法求解更快地逼近到方程組的解。但這是在這兩種迭代法都收斂的前提下而言的，并不意味Seidel 迭代法可以完全取代 Ja cobi 迭代法。 事實上，我們不但會找到用 Jacobi 迭代法產(chǎn)生的點列? ?? ?kx收斂，而用 Se idel 迭代法產(chǎn)生的? ?? ?kx就不收斂的例子，相反的例子同樣可以找到。 比較 Jacobi 迭代法 和 Se idel 迭代法，他們有一個共同點，就是新的近似解 ? ?1kx? 是已知近似解 ? ?kx的線性函數(shù)，且只與 ? ?kx有關。這類迭代法叫做 單點線性迭代方法 。 迭代法誤差估計 迭代法產(chǎn)生的點列逼近于解的過程是一個極限過程，計算機雖然計算速度快，但也不可能靠無休止的迭代來求得問題的準確解。這是因為計算機的舍入誤差會使準確解總也達不到，由此造成不停機現(xiàn)象或舍入誤差的積累淹沒了準確解的結(jié)果。由于這些原因，通常把迭代求解的注意力放在用有限次迭代來求滿足一定精度要求的近似解上。實踐說明，這些近似解同樣可以很好地解決實際問題。 要想做到這些，應該對迭代向量與準確解的誤差進行估計，從而確定迭代多少次可以得到滿足要求的近似解。 定理 6 設迭代矩陣 B 的某種范數(shù)1B ?，則迭代格式 ? ? ? ?1kkx B x g???的第 k 次迭代向量 ? ?kx 與線性方程組 A x b? 的同解方程組x Bx g??的準確解 x ? 滿足下列關系 （１） ? ? ? ? ? ?11k k kBx x x xB??? ? ?? （２） ? ? ? ? ? ?101kkBx x x xB?? ? ?? 證明 因為 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1()kkkkx x B x g B x gB x x B x x? ????? ? ? ? ?? ? ? ? 同理可得 ? ? ? ? ? ? ? ?11k k k kx x B x x??? ? ? （ * ） 另一方面 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?1 1 11()1k k k k k kk k k kkx x x x x x x xx x x x x x B x xB x x? ? ????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 所以有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?111k k k k kB x x x x B x x?? ?? ? ? ? ? ? 因為1B ?，用1 B?同除上式，得 ? ? ? ? ? ?11k k kBx x x xB??? ? ?? 結(jié)論（ 1 ）得證。 為證（ 2 ） ，重復利用 （ * ） ，有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 0kkkx x B x x?? ? ? 所以 有 ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 0kkkx x B x x??? ? ? 因此有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 011kk k kBBx x x x x xBB??? ? ? ? ??? 定 理 6 的 結(jié) 論 （ 2 ） 給 出 了 迭 代 格 式? ? ? ?1kkx B x g???的誤差估計。 利用這個不等式就能算出在事先給定誤差精 度 ? 后所需迭代的次數(shù) k 。 但一般而言，這樣算出的 k 都偏大，實用中很少使用。實用中主要以 定理 6 的結(jié)論（ 1 ）來控制迭代次數(shù) k ，具體為計算相鄰兩次迭代向量之差
試題試卷相關推薦
鄂ICP備17016276號-1