計(jì)算方法(方程組的迭代法)-文庫(kù)吧
2025-04-23 04:10 本頁(yè)面
【正文】 b i迭代和 S eid e l 迭代的收斂條件。為此，先把這兩種迭代格式寫(xiě)成統(tǒng)一的形式 ? ? ? ?1kkx B x g??? 定理 1 對(duì)任何 nnAR ?? ，都有? ?AA? ?，這里A是矩陣 A 的任何算子范數(shù)。 證明 設(shè)i?和ix是矩陣 A 的任一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，則有i i iA x x??，兩邊取范數(shù)，有 i i i i i ix x A x A x?? ? ? ? 因?yàn)閕x不是零向量，所以0ix ?，對(duì)上式同除ix，即得iA? ?，利用i?的任意性，可得 ? ?1m a xiinAA?????? 定理２ 迭代格式 ? ? ? ?1kkx B x g???對(duì)由任何初始向量 ? ?0 nxR ?產(chǎn)生的點(diǎn)列? ?? ?kx都收斂的充分必要條件是譜半徑? ? 1B? ?。 證明 設(shè)? ?l imkkxx????，則有x Bx g????，用? ? ? ?1kkx B x g???與其相減得： ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1k k kx x B x g B x g B x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 反復(fù)利用上式，有： ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1 1 1 02k k kx x B x x B x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1 ） 由 ? ?0x 的任意性及? ?l imkkxx????，可得 l im 0kkB??? （ 2 ） 所以l im 0kkB???， 又因定理 1 及? ?? ? ? ?kkkB B B?? ??，所以? ? 1B? ?，必要性得證。 反過(guò)來(lái)，假設(shè)? ? 1B? ?，則矩陣 IB? 是非奇異矩陣，于是可知方程組 ? ?I B x g??有唯一解 x ? ，從而得到關(guān)系式 x Bx g???? ，利用關(guān)系式 （ 1 ） 及 （ 2 ）可得 ? ?l im kkxx ????，充分性得證。 定理 2 提供了判別迭代格式 ? ? ? ?1kkx B x g??? 的收斂的等價(jià)條件。不過(guò)由于? ?B?一般不容易求出，實(shí)用中較少直接應(yīng)用定理 2 ，而是采用由定理 2 得出的判別條件。定理 1 說(shuō)明了譜半徑與矩陣范數(shù)的關(guān)系，由于范數(shù)一般較容易計(jì)算，故可得到以下 判別定理 。 定理 3 若矩陣 B 的某種算子范數(shù) 1B ? ，則迭代格式 ? ? ? ?1kkx B x g? ?? 對(duì)任何初始向量 ? ?0x 都收斂于方程組 x Bx g?? 的唯一解 x ? 。 證 明 先證方程組 x Bx g?? 在 1B ? 時(shí)有 唯一解。由x Bx g?? ，得 ? ?I B x g?? ，因此當(dāng)矩陣 IB? 是非奇異時(shí)可保證有 唯一 解。 假設(shè) IB? 是奇異矩陣，則有非零向量1nxR ?，滿足? ? 1 0I B x??， 由 此 可 得11x B x?。 取 范 數(shù) 有1 1 1x B x B x??，因?yàn)?0x ?，所以有1B ?，這與1B ?矛盾。矛盾說(shuō)明 IB? 是 奇異的假設(shè)不對(duì) ，這樣就證得了x Bx g??在1B ?有唯一解。 設(shè) x ? 是其 唯一 解，則有x Bx g????，由定理 1 可得? ? 1BB? ??，再由 定理 2 得出定理成立。 定理 3 給出 了 判別迭代格式 ? ? ? ?1kkx B x g??? 對(duì)任意初始向量 ? ?0x 都收斂的實(shí)用判別法。它對(duì)Jacobi 迭代 法 和 S ei del 迭代 法都適用。根據(jù)這個(gè)判別定理 ，通常利用矩陣的三個(gè)范數(shù)1A，2A，A?是否有小于１的情況來(lái)判別收斂。不過(guò)，由于2A較難計(jì)算，利用2 FAA ?的條件，可用1FA ?代替21A ?來(lái)判別。但要注意的是 定理 3 是一個(gè) 充分條件 ， 當(dāng)上述幾個(gè)范數(shù)有一個(gè)小于 1 時(shí)可得收斂結(jié)果；然而當(dāng)它們都大于 1 時(shí)不能得出發(fā)散的結(jié)果。 注意到這幾個(gè)范數(shù)都是與 B 的元素有關(guān)，因此要想使迭代收斂，設(shè)法使迭代矩陣 B 的所有元素的絕對(duì)值變小是一種重要手段，它在某些場(chǎng)合可以得到收斂的迭代點(diǎn)列。 第二個(gè)判別定理是 針對(duì)線性方程組 的系數(shù)矩陣是比較特殊的 矩陣，這種矩陣的主對(duì)角線上元素的絕對(duì)值嚴(yán)格大于同一行上其它元素絕對(duì)值之和，稱為 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣 。 定理 4 如果 A 為 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣 ，則對(duì)應(yīng)的線性方程組A x b?的 Jacobi 迭代和 Seid el 迭代對(duì)任意的初 始向量 ? ?0x 都收斂。 證明 因?yàn)?Jaco bi 迭代矩陣1JB I D A???，則有 11111m a x m a x 1nnijJ iji n i njjii iij i j iaBaaa?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 由 定理 3 ，得 Jacobi 迭代對(duì)任何初始向量 ? ?0x 都收斂。 對(duì) Seidel 迭代矩陣? ?1SB L D U?? ? ?，設(shè)k?是SB的任意特征值，則有 ? ? ? ?? ? ? ?11de t de tde t de t 0k S kkI B I D L UD L D L U???????? ? ? ???????? ? ? ? ? ??? 因?yàn)?A 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以0iia ?，1 , 2 , ,in? ? ? ?，由此可得? ?1d e t 0DL???，于是有 ? ?d e t 0k D L U??? ? ? ??? （ * ） 注意到 ? ?11 12 13 121 22 23 21 2 3......... ... ... ... ......knk k nkk n k n k n k na a a aa a a aD L Ua a a a????? ? ? ???????? ? ??????? 假設(shè)1k? ?，則有 11111nnk i i k i i k i j k i jjjj i j iin
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