計算方法(方程組的迭代法)-資料下載頁
2025-05-13 04:10本頁面
【正文】 ? 從式中解出? ?1kix?，1 , 2 , 3i ?， 得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11 2 312 2 313 2 32 1 125 5 51 11 2210 20 51 1 2120 8 10k k kk k kk k kx x xx x xx x x????? ? ? ????? ? ? ????? ? ??? 故 可得 Seid el 迭代矩陣為 210551 11010 2011020 8SB??????????? ? ???????????? 從上例可以看到 Jac obi 迭代矩陣JB的主對角線都是零，而 Sei de l 迭代矩陣SB的第 1 列都是零，這對一般情況也是成立的。 （六）、相關(guān)程序設(shè)計 原始數(shù)據(jù)（ A,b)可用一個二維數(shù)組存儲，也可將 A用一個二維數(shù)組， b用一個一維數(shù)組分別存儲，存儲 需要一個一維數(shù)組。程序中應(yīng)方便地對迭代方法和終止條件的選擇以及對初始向量和 ?值的設(shè)置。在迭代過程中，為反映迭代情況，可設(shè)置一些中間數(shù)據(jù)的輸出，如迭帶次數(shù)，迭代向量，迭代殘向量 等。當(dāng)然不需要每迭代一次都作輸出，這可作為收斂情況或不收斂情況的分析。作為不收斂的判定，可設(shè)置一個大的整數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)超過該數(shù)時作為不收斂處理。 GS 迭代法的計算公式為： )(kx? ?nikaxaxabxiiijnijkjijkjijiki??2,1。111 1)1()()(?????? ??? ???開始 Niyx ii ???? 10,01?i0?Tiiii aTbx /)( ??Ni?1?i??? ii yxjj xyNj ??? ,1Ni?ix打印結(jié)果1?? ii? ?? ?? ?? ?? ?nixxynjyxniaxabxjinjninkxniyxxnnibnjniaabbayYxXbBaANiiiiiiijijiikiiiijiiiij????????????2,1.511.4112,1,2,1,0,0.,2,12,12,1.)()0(?????????????????????????????????????的值打印計算結(jié)果轉(zhuǎn)第三步再計算則如精度判斷，則如迭代計算輸入初使迭代值２輸入原始數(shù)據(jù)１計算步驟：的值賦給將－上一輪迭代的解迭代過程中的解常數(shù)矩陣系數(shù)矩陣線形方程組組數(shù)T F T F T , , , , 1ij iN a b i j N? ??輸 入 ， ，1, ij jj N i j T T a x? ? ? ? ?如請給出用 C語言或其他語言求解下面方程組的程序及結(jié)果： ????????????????321321321xxxxxxxxx（七）、方法優(yōu)缺點討論 由以上例題的求解過程可明顯看出 GS迭代法的收斂速度比簡單迭代法快，但對于任意給定的一個方程組分別用簡單迭代法和 GS迭代法求解時，兩種迭代法可能都收斂，也可能都不收斂。也有可能是GS迭代法收斂而 J迭代法不收斂。但亦有相反情況，即簡單迭代法收斂而 GS迭代法不收斂。而且交換方程組中的方程和未知數(shù)的次序都會影響 GS迭代法的計算結(jié)果，但這種交換對簡單迭代法是沒有影響的。 （八）、 SOR法介紹 當(dāng)使用 Jacobi 迭代法或 Se idel 迭代法解線性方程組A x b?時，可能會出現(xiàn)收斂極慢的情況，為了提高迭代收斂速度，我們再給出時 SOR 法 ，此方法又稱為 超松弛法 （ Succes sive Ov er Relaxa tion Method ），它具有提高迭代收斂速度的功能。 SOR 法由 Se idel 迭代法演變而來，其 基本思想 是利用原迭代的第 k 次迭代值 ? ?kx 及由 ? ?kx 產(chǎn)生的下一步 Seidel 迭代值 ? ?1kx ? 的加權(quán)平均構(gòu)成新的迭代格式。 ? ?? ?? ? ? ?111mmmx x x????? ? ? , 1 ,m k k? ? ? ? ? 其中實參數(shù)?稱為 松弛因子 ， ? ?1mx ? 是由 ? ?mx 產(chǎn)生的S ei del 迭代值，即 ? ? ? ?1m mSSx B x g???。 式 ? ?? ?? ? ? ?111mmmx x x????? ? ?稱為 SOR 迭代 格式 ，通過適當(dāng)調(diào)整?的值，一般可使原迭代法收斂加快，當(dāng)1? ? 時， SO R 迭代格式 就是 Se idel 迭代格式。 通過 推導(dǎo)，可以得到 SOR 法 的矩陣迭代 形 式 為 ： ? ? ? ?1mmx B x g????? 其中 ： ? ? ? ?11B D L D U?? ? ????? ? ? ???稱為 SOR 法的迭代矩陣；? ?1g D L b??????； D ， L ， U 與 Se idel 迭代矩陣中的意義相同。 可以證明， SOR 法迭代格式收斂的必要條件為02 ???。 SOR 法的難點是選擇合適的松弛因子?使迭代格式 ? ?? ?? ?? ?111mmmx x x????? ? ?或 ? ? ? ?1mmx B x g????? 收斂最快。目前對少數(shù)特殊類型的矩陣，已找到最佳松弛因子的理論公式，但實際使用仍有一定的困難。因此，通常是采用試算的方法來尋求近似的最佳松弛因子。例如在區(qū)間? ?0 , 2中依次選擇幾個松弛因子，通過比較相應(yīng)的收斂速度來確定其中最快的一個?即可。 （九）、迭代法的特點 （ 1）方法簡單，每次迭代都是簡單的重復(fù)運(yùn)算，易于編制程序；與求解線性方程的精確法相比，簡單迭代法對于字長位數(shù)較少的計算機(jī)更為適用，它可以用增加迭代次數(shù)來彌補(bǔ)字長位數(shù)少的不足。 （ 2）初值可以任取，因而中間結(jié)果偶然錯誤不影響最后結(jié)果的獲得。 （ 3）缺點：用計算機(jī)計算時，迭代速度較慢。 （ 4）就其收斂性而言，某些用 Seidel迭代法不能收斂。而無法得出結(jié)果的線性代數(shù)方程組，用 Jacoai迭代法卻能進(jìn)行收斂計算，反之已然。
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