62一元方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代法-資料下載頁(yè)
2024-10-12 16:31本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】構(gòu)造迭代公式是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。也是方程（按等價(jià)性，,)稱為基本迭代法，迭代式（x?決定，因此，這是一種僅由迭代過(guò)程中，）也稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代法的不動(dòng)點(diǎn)，式（稱為。的收斂性可能有很大的差異。同一迭代法的不同初值，也可能收斂到不同的根。解轉(zhuǎn)換成兩種等價(jià)形式把0)(?斂，第二個(gè)迭代法發(fā)散。顯然第一個(gè)迭代法收。此方程有唯一實(shí)根迭代結(jié)果列于表。點(diǎn)為初值，既令為有根區(qū)間。對(duì)應(yīng)的迭代法為。上連續(xù)，并且滿足在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)],[)(bax?使對(duì)任意存在正數(shù)],,[,,1)2(bayxL??上有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)在。在這是個(gè)矛盾式子，因此],[)(bax?理，對(duì)任何成立，則由微分中值定代替。足夠小，且不很接近1，既可保證近似值具有足夠的精度。此，可以通過(guò)檢查的大小來(lái)判斷迭代過(guò)程是否終止。的精度確定出需要迭代。與曲線在幾何上是直線的不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)。圖）是收斂的情形其中圖（。所示，的幾何解釋如圖，定理的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。其導(dǎo)數(shù)對(duì)于迭代函數(shù)32. 有容易驗(yàn)證，對(duì)任意]2,1[?通過(guò)轉(zhuǎn)化，化為適合于迭代的形式。
【正文】 是 的不動(dòng)點(diǎn)， 在 x*處連續(xù)，且 ,則 Steffensen迭代法 (）至少具有二階局部收斂性。 1)*39。 ?x（?)(x? )(39。39。 x?證 （ 1）若 x*= ，則當(dāng) x=x*時(shí)，（ ）式的分子分母都為零。對(duì)它的極限用 L’Hospitale法則，由于 ，得知 )( *x?1)( *39。 ?x?*2*39。2*39。*39。39。39。39。39。39。]1)([]1)([1)(2)())(()()(2)())(())(()( limlim**xx xxxxx xxxxxxxxxxx?? ???? ????? ??????????????從而 。反之，若 ，則由（ ）得 知 。 )( ** xx ?? )( ** xx ??)( ** xx ??第六章非線性方程組的迭代解法 于是，由 對(duì)（ ）的兩邊求極限，因?yàn)?x*至少是 p(x)和 q(x)二重根，所以，使用兩次L’Hospitale法則得 ?？芍ā?0)()(,1) *** ??? xqxpx?)()()(1 39。xqxpx ?? ?其中 （ 2）由（ 1）可知 x* 是 的不動(dòng)點(diǎn)，于是，由定理 ，只要證明 。對(duì)（ ）兩邊求導(dǎo)得 )(x?0)( *39。 ?x?39。2 39。 39。 39。2 * 39。39。 39。 * 4( ) 2 [ ( ) ] [ ( ) 1 ] [ ( ( ) ) 2 ( ) ][ ( ) ] [ ( ( ) ) ( ) 2 ( ) 1 ] ,( ) [ ( ( ) ) 2 ( ) ]( ) ( * ) 2 [ ( ) 1 ]p x x x x x x xx x x x xq x x x xp x q x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?并 且 容 易 算 出第六章非線性方程組的迭代解法 。定理得證。從而 0)( *39。 ?x?,1)( )()](1[)(1 39。*39。 limlim**??????? xqxpxxxxxx??可見(jiàn)，在定理 ，不管原迭代法 收斂還是不收斂，由它構(gòu)成的 Steffensen迭代式（ ）至少平方收斂。因此， Steffensen迭代法是對(duì)原迭代法的一種改善。關(guān)于原迭代法不收斂的情形，舉例如下。 )(1 kk xx ???例 用 Steffensen迭代法求方程 的實(shí)根。 解 由例 ，迭代法 發(fā)散?，F(xiàn)用 構(gòu)造 Steffensen迭代法。 131 ??? kk xx 1)( 32 ?? xx?3f(x )= x x 1 = 0第六章非線性方程組的迭代解法 .21332)(,1,1kkkkkkkkkkkxyzyzzxyzxy??????????表 6— 6 K 0 1 … 5 6 Xk … 仍取初值 =,計(jì)算結(jié)果如表 6— 6?？梢?jiàn)， Steffensen迭代法對(duì)這種不收斂的情形同樣有效 。 0x
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