《迭代法及其收斂性》ppt課件-文庫吧
2025-04-18 18:36 本頁面
【正文】 （ ） , L其 中 稱 為 ， 或 稱 為 。壓 縮 系 數(shù) 李 普 希 茲 常 數(shù)( ) [ , ] .g x a b x ?則 函 數(shù) 在 上 存 在 的 不 動 點唯 一 證明 先證不動點存在性 . 若 或 ，顯然 在 上存在 不動點 . aag ?)( bbg ?)( )(xg ],[ ba 因 ，以下設(shè) 及 ，定 bxga ?? )( aag ?)( bbg ?)(義函數(shù) .)()( xxgxf ??顯然 ，且滿足 ，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知存在 使 ，即 即為 的不動點 . ],[)( baCxf ? ???? )(,0)()( bfaagaf0)( ?? bbg ),(* bax ?0*)( ?xf ** ) ,(* xxgx ? )(xg 再證唯一性 . 設(shè) 都是 的不動點，則由 ()得 ],[, 21 baxx ??? )(x?.)()(21212121???????????????xxxxLxgxgxx引出矛盾 . 故 的不動點只能是唯一的 . 證畢 . )(xg}{ kx定理 .2 設(shè) 滿足定理 1中的兩個條件，則 對任意 ，由（ ）得到的迭代序列 收斂 到 的不動點 ，并有 誤差估計 ],[)( baCxg ?],[0 bax ?)(xg *x.1* 01 xxLLxxkk ????（ ） 證明 設(shè) 是 在 上的唯一不動點， 由條件 1176。 ，可知 ，再由（ ）得 ],[ ba],[* bax ? )(xg],[}{ bax k ?.***)()(*011xxLxxLxgxgxxkkkk???????????因 ，故當(dāng) 時序列 收斂到 . 10 ?? L ??k }{ kx *x 再證明估計式（ ），由李普希茲條件有 .)()( 111 ??? ????? kkkkkk xxLxgxgxx （ ） 反復(fù)遞推得 .011 xxLxx kkk ????于是對任意正整數(shù) 有 p.1)(0101211211xxLLxxLLLxxxxxxxxkkpkpkkkpkpkpkpkkpk???????????????????????????????在上式令 ，注意到 即得式（ ）證畢 . ??p *lim xxpkp ???? 迭代過程是個極限過程 . 在用迭代法實際計算時，必 須按精度要求控制迭代次數(shù) . 誤差估計式（ ）原則上可用于確定迭代次數(shù)，但它 由于含有信息 而不便于實際應(yīng)用 . L 根據(jù)式（ ），對任意正整數(shù) 有 p1211( 1 )1 .1ppk p k k kpkkx x L L x xL xxL?????? ? ? ? ? ?????在上式中令 知 ??p.1 1* 1 kkk xxLxx ???? ? 由此可見，只要相鄰兩次計算結(jié)果的偏差 足夠小即可保證近似值 具有足夠精度 . kk xx ??1kx 對上述定理中的壓縮性， 在使用時如果 且對任意 有 ],[)( 1 baCxg ?],[ bax ?,1)( ??? Lxg （ ） 則由中值定理可知對 有 ],[, bayx ??).,(,))(()()( 212121 baxxLxxgxgxg ??????? ??表明定理中的壓縮性條件可用（ ）代替 . 例 ，當(dāng) 時， ,在 區(qū)間 中， ，故（ ）成立 . 3 1)( ?? xxg 3/2)1(31)( ???? xxg]2,1[ 14131)(3/1????????? xg又因 ，故定理 1中條件 1176。 也成立 . 所以迭
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