一致收斂性及應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-08 16:24 本頁面
【正文】 一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的性質(zhì) 一致收斂判別法 第3章 含參變量廣義積分的一致收斂性 含參變量廣義積分的一致收斂性定義 含參變量廣義積分的一致收斂性定理 一致收斂的性質(zhì) 一致收斂的判別法結(jié)論 32參考文獻(xiàn) 33致謝 34緒論 本文從函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、含參變量廣義積分三類的一致收斂性的定義出發(fā)，來研究一致收斂性的一系列定理及應(yīng)用。 函數(shù)列的極限來表示函數(shù)是函數(shù)表達(dá)的一種很重要的手段，特別是表達(dá)非初等函數(shù)的重要的數(shù)學(xué)工具。所以，研究函數(shù)的解析性質(zhì)可以利用函數(shù)列的解析性質(zhì)，而函數(shù)列的一致收斂性是我們學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)比較精細(xì)的概念，對(duì)于初學(xué)者，本文給出了詳細(xì)的解析。一致收斂是保證和函數(shù)連續(xù)的重要條件，它也是保證和函數(shù)可積和可微的重要條件。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)又是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)很重要的手段。因此，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都有很廣泛的應(yīng)用。同樣的，我們討論含參變量廣義積分的分析性質(zhì)，一致收斂也發(fā)揮著重要作用。在數(shù)學(xué)分析發(fā)展迅速的今天，越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者開始研究一致收斂性，并且取得了豐碩的成果。2006年馬雪雅、齊曉波的《函數(shù)列的收斂與一致收斂》中，用函數(shù)列的收斂與一致收斂關(guān)系討論數(shù)學(xué)分析中的收斂問題；2010年陳妙玲的《函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法》將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一些判別法推廣到判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂上來；2003年王秀紅的《含參變量廣義積分一致收斂Heine定理》當(dāng)中，從二元函數(shù)一致極限的角度出發(fā)，給出了含參變量廣義積分的一致收斂的Heine定理的證明及應(yīng)用。對(duì)這些性質(zhì)的理解與歸納，主要通過與之相關(guān)的圖書、電子期刊以及所學(xué)知識(shí)歸納總結(jié)得到，本文的重點(diǎn)是一致收斂性的判別方法，并運(yùn)用這些方法解決常見的數(shù)學(xué)問題。第1章 函數(shù)列的一致收斂性 函數(shù)列的一致收斂性，表現(xiàn)了函數(shù)列在整個(gè)點(diǎn)集上的整體性質(zhì)。 函數(shù)列的一致收斂性定義 定義 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)均定義在點(diǎn)集X上，若對(duì)0，都存在自然數(shù)N和xX，恒有成立，則稱函數(shù)列在點(diǎn)集X上一致收斂于。 從定義中可以知道，如果函數(shù)列在點(diǎn)集X上一致收斂于，那么在點(diǎn)集X上收斂于。定義 設(shè)函數(shù)序列的每個(gè)函數(shù)及函數(shù)定義在上，如果對(duì)任給的，存在自然數(shù)N，使得時(shí)，對(duì)一切成立 ，則稱在上一致收斂于。函數(shù)序列在上一致收斂于，從幾何上來講：對(duì)任給的，存在自然數(shù)N，使得nN時(shí)，曲線都落在以曲線與為邊（也就是以曲線為“中心線”，寬度為）的帶形區(qū)域內(nèi)。定義 設(shè)函數(shù)列在區(qū)間收斂于極限函數(shù)，若，，有。則稱函數(shù)列在區(qū)間一致收斂于極限函數(shù)。定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是。證明：充分性，自然數(shù),當(dāng)時(shí)，恒有成立，故對(duì)于任何的，都有成立，根據(jù)定義，在上一致收斂于。必要性，由于在上一致收斂于，故存在自然數(shù),當(dāng) 時(shí)，都有成立，因此有成立，依據(jù)定義。定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是對(duì)任意數(shù)列，都有。證明：必要性任取,則對(duì)任意自然數(shù)，都有成立，又由已知定理1，再依據(jù)數(shù)列極限的性質(zhì)，可知充分性（反證法）假設(shè)在上不一致收斂于，即存在，對(duì)任意自然數(shù),都存在和,使成立，對(duì)于，存在，和，使成立，對(duì)于存在和，使成立，…，對(duì)于，存在和，使成立，…現(xiàn)在取，使得。于是，對(duì)任意自然數(shù)k，均有成立。由此可以知道，不收斂于0，而它是的子列，根據(jù)數(shù)列與其子列的關(guān)系定理，不收斂于0，這與已知相矛盾。定理 在點(diǎn)集上一致收斂的充分必要條件是對(duì)任意，都存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有成立。證明：先證必要性 對(duì)任意，因?yàn)樵谏弦恢率諗?，不妨設(shè)收斂于，于是，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有成立。因此，當(dāng)和時(shí)，恒有成立，所以，恒有成立。再證充分性對(duì)于任意，由已知，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有成立。于是，對(duì)于任一，當(dāng)時(shí)，恒有成立，根據(jù)柯西
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