一致收斂性及應(yīng)用畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-08 16:24:44 本頁面
【正文】 收斂性，有的可以判定函數(shù)列的非一致收斂性，有的兩種都可以判斷。當(dāng)，對任，均在上可積，那么，即說明積分號與極限號可以交換次序。在定理當(dāng)中的在上有界，以及存在，使對任意，都有成立，全都是不可缺少的。并且，本定理當(dāng)中的在上有界，也是不能缺少的。 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì)定理 設(shè)與在點(diǎn)集上分別一致收斂于與，則在上一致收斂于。因此，當(dāng)和時(shí)，恒有成立，所以，恒有成立。于是，對任意自然數(shù)k，均有成立。證明：充分性，自然數(shù),當(dāng)時(shí)，恒有成立，故對于任何的，都有成立，根據(jù)定義，在上一致收斂于。函數(shù)序列在上一致收斂于，從幾何上來講：對任給的，存在自然數(shù)N，使得nN時(shí)，曲線都落在以曲線與為邊（也就是以曲線為“中心線”，寬度為）的帶形區(qū)域內(nèi)。第1章 函數(shù)列的一致收斂性 函數(shù)列的一致收斂性，表現(xiàn)了函數(shù)列在整個點(diǎn)集上的整體性質(zhì)。同樣的，我們討論含參變量廣義積分的分析性質(zhì)，一致收斂也發(fā)揮著重要作用。所以，研究函數(shù)的解析性質(zhì)可以利用函數(shù)列的解析性質(zhì)，而函數(shù)列的一致收斂性是我們學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中的一個比較精細(xì)的概念，對于初學(xué)者，本文給出了詳細(xì)的解析。通過例題，說明了一致收斂是和函數(shù)的充分分析性質(zhì)，而不是必要條件。齊 齊 哈 爾 大 學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題 目 一致收斂性及應(yīng)用學(xué) 院 理學(xué)院專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 數(shù)學(xué)092班學(xué)生姓名 黃曉杰指導(dǎo)教師 鄭大釗成 績 2013年 6月20日摘要 對函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的研究，是為了解決函數(shù)列的極限函數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)。由此我們可以看出，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，合理恰當(dāng)?shù)睦}會更好的展現(xiàn)出定理。一致收斂是保證和函數(shù)連續(xù)的重要條件，它也是保證和函數(shù)可積和可微的重要條件。在數(shù)學(xué)分析發(fā)展迅速的今天，越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者開始研究一致收斂性，并且取得了豐碩的成果。 函數(shù)列的一致收斂性定義 定義 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)均定義在點(diǎn)集X上，若對0，都存在自然數(shù)N和xX，恒有成立，則稱函數(shù)列在點(diǎn)集X上一致收斂于。定義 設(shè)函數(shù)列在區(qū)間收斂于極限函數(shù)，若，有。必要性，由于在上一致收斂于，故存在自然數(shù),當(dāng) 時(shí)，都有成立，因此有成立，依據(jù)定義。由此可以知道，不收斂于0，而它是的子列，根據(jù)數(shù)列與其子列的關(guān)系定理，不收斂于0，這與已知相矛盾。再證充分性對于任意，由已知，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有成立。定理 設(shè)與在點(diǎn)集上分別一致收斂于與，且與均在上有界，則在上一致收斂于，且在上有界。定理 設(shè)在點(diǎn)集上一致收斂于0，又在上往后一致有界，則函數(shù)列在上一致收斂于0.定理設(shè)與在上分別一致收斂于與，且在上有界，又存在，使對任意，都有成立，則在上一致收斂于，且在上有界。定理設(shè)存在，使在內(nèi)一致收斂于，又存在自然數(shù)，使對任意，都有，則，即，說明極限號與可以交換次序。定理設(shè)存在自然數(shù)。）在本節(jié)當(dāng)中，判別法只是對函數(shù)列的一致收斂性的補(bǔ)充。在之后的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性與含參變量廣義積分的一致收斂性的判別法當(dāng)中，它也是一個很重要的定理。還有，若級數(shù)收斂于，則當(dāng)把它看作是函數(shù)級數(shù)時(shí)，在任意點(diǎn)集上都一致收斂于。 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是。例2 試證在內(nèi)不一致收斂。推論：設(shè)在點(diǎn)集上一直收斂，則在上一致收斂于0.例3 試讓在內(nèi)不一致收斂。定理 設(shè)級數(shù)在的某個空心領(lǐng)域里一致收斂，則收斂，且。a 和函數(shù)的連續(xù)性定理 若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間一致收斂于和函數(shù)，且，在區(qū)間連續(xù)，則和函數(shù)在區(qū)間也連續(xù)。c 逐項(xiàng)積分與積分號下取極限定理 若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一致收斂
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