計(jì)算方法-插值方法(已修改)
2025-05-29 04:10 本頁面
【正文】 計(jì) 算 方 法 光信息 插值方法 ? 插值多項(xiàng)式定義 ? 插值多項(xiàng)式的存在唯一性 ? 插值余項(xiàng) ? 基函數(shù)構(gòu)造拉氏插值多項(xiàng)式 ? 計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) ? 分段線性插值 ? 其它插值方法介紹 引例及問題綜述 ? 引例 1 血藥濃度問題 為試驗(yàn)?zāi)撤N新藥的療效，醫(yī)生對(duì)某人用快速靜脈注射方 式一次注入該藥 300mg后，在一定時(shí)間 t(h)采取血樣，測(cè) 得血藥濃度 C數(shù)據(jù)如下 試確定血藥濃度 C與時(shí)間 t的函數(shù)關(guān)系。 引例及問題綜述 引例 2：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ? ? ?????? x u duex 2221?xx ?si n3!31s i n xxx ??充分小x引例及問題綜述 在生產(chǎn)實(shí)際及科學(xué)研究中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù) 關(guān)系 y=f(x)。 若 f(x)的表達(dá)式很復(fù)雜，或 f(x)只能用一張 數(shù)據(jù)表來表示，即只知道 f(x)在一系列點(diǎn) x0、 x … xn 處的函數(shù)值： 這都會(huì)給研究帶來困難。如何解決這類問題？當(dāng)函數(shù) f(x) 比較復(fù)雜或根本無法寫出解析式時(shí)，往往尋求用一個(gè)熟悉的 簡(jiǎn)單函數(shù) P(x)的去近似表示 f(x),將研究 f(x)的問題轉(zhuǎn)化為 研究函數(shù) P(x)的問題。 X X0 X1 … Xn F(x) F(x0) F(x1) … F(xn) 插值 /* Interpolation */ 當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn) x0 … xn 處測(cè)得函數(shù)值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)， 由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù) g(x) ? f(x)， 滿足條件 g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 這里的 g(x) 稱為 f(x) 的 插值函數(shù) 。最常用的插值函數(shù)是 …? 多項(xiàng)式 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 定理 (唯一性 ) 滿足 的 n 階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。 niyxP ii ,. ..,0,)( ??證明： ( 利用 Vandermonde 行列式 論證 ) 反證：若不唯一，則除了 Ln(x) 外還有另一 n 階多項(xiàng)式 Pn(x) 滿足 Pn(xi) = yi 。 考察 則 Qn 的階數(shù) ,)()()( xLxPxQnnn ??? n 而 Qn 有 個(gè)不同的根 n + 1 x0 … xn 注： 若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ， 則插值多項(xiàng)式 不唯一 。 例如 也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式。 ????? niin xxxpxLxP0)()()()()(xp這樣的插值多項(xiàng)式是否存在并且唯一呢？對(duì)此，有如下結(jié)論 ： 拉格朗日多項(xiàng)式 /* Lagrange Polynomial */ n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( ? ? 求 n 次多項(xiàng)式 使得 nnn xaxaaxP ???? ?10)(條件： 無重合節(jié)點(diǎn)，即 ji xx ?ji ?n = 1 已知 x0 , x1 。 y0 , y1 ， 求 xaaxP101 )( ??使得 1 1 1 0 0 1 ) ( , ) ( y x P y x P ? ? 可見 P1(x) 是過 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直線。 ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P ? ? ? ? ? 1 0 1 x x x x ? ? 0 1 0 x x x x ? ? = y0 + y1 l0(x) l1(x) ? ? ? 1 0 ) ( i i i y x l 稱為 拉氏基函數(shù) /* Lagrange Basis */， 滿足條件 li(xj)=?ij /* Kronecker Delta */ n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ； 然后令 ? ? ? n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。 li(x) 每個(gè) li 有 n 個(gè)根 x0 … xi … xn ? ? ? ? ? ? ? ? n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? ? ? ? j ? i j i
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