計(jì)算方法-插值方法-文庫吧資料
2025-05-21 04:10本頁面
【正文】 函 數(shù) 構(gòu) 造 設(shè) Hermite插值函數(shù) n n H2n+1(x) = ? Li(x) yi + ? hi(x) y39。(xi)= y39。(xi)= y 39。 n定義： f(x) 在區(qū)間 [ a, b] 上 n+1個互異節(jié)點(diǎn)a=x0x1x2……x n=b , 定義在 [a,b]上函數(shù) f(x) 在節(jié)點(diǎn)上滿足 f(xi) = yi f’(xi)=y 39。 0 y 39。 x x 0 x 1 …… x ny y0 y1 …… yny39。 n = 2 23))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342 ??? ?????? ?????? ????????????????????? xxxxxxxL) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? ? L 2 3c os21。 解： 0x 1x 2x185500 ??n = 1 分別利用 x0, x1 以及 x1, x2 計(jì)算 4,6 10?? ?? xx?利用 216/4/ 6/214/6/ 4/)(1 ???????? ?? ??? ? xxxL這里 )3,6(,s i n)(,s i n)( )2( ????? ???? xxxfxxf而 )4)(6(!2 )()(,2 3s i n21 )2(1 ???? ????? xxfxR xx)185( 1 ???? ?R ?sin 50? = … ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? ? L 外推 /* extrapolation */ 的實(shí)際誤差 ? ? 3,4 21 ?? ?? xx?利用 sin 50? ? , 185~ 1 ???????? ?R內(nèi)插 /* interpolation */ 的實(shí)際誤差 ? 內(nèi)插通常優(yōu)于外推。 1)1( )( ?? ? nn Mxf??? ?? niin xxnM01 ||)!1(?當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式 時(shí)， , 可知 ，即插值多項(xiàng)式對于次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式是 精確 的。下面，我們導(dǎo)出其具體表達(dá)形式。 ) ( ) ( 0 0 1 0 1 0 1 x x x x y y y x P ? ? ? ? ? 1 0 1 x x x x ? ? 0 1 0 x x x x ? ? = y0 + y1 l0(x) l1(x) ? ? ? 1 0 ) ( i i i y x l 稱為 拉氏基函數(shù) /* Lagrange Basis */， 滿足條件 li(xj)=?ij /* Kronecker Delta */ n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ； 然后令 ? ? ? n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。 ????? niin xxxpxLxP0)()()()()(xp這樣的插值多項(xiàng)式是否存在并且唯一呢？對此，有如下結(jié)論 ： 拉格朗日多項(xiàng)式 /* Lagrange Polynomial */ n i y x P i i n , ... , 0 , ) ( ? ? 求 n 次多項(xiàng)式 使得 nnn xaxaaxP ???? ?10)(條件： 無重合節(jié)點(diǎn)，即 ji xx ?ji ?n = 1 已知 x0 , x1 。 考察 則 Qn 的階數(shù) ,)()()( xLxPxQnnn ??? n 而 Qn 有 個不同的根 n + 1 x0 … xn 注： 若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ， 則插值多項(xiàng)式 不唯一 。最常用的插值函數(shù)是 …? 多項(xiàng)式 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 定理 (唯一性 ) 滿足 的 n 階插值多項(xiàng)式是唯一存在的。 X X0 X1 … Xn F(x) F(x0) F(x1) … F(xn) 插值 /* Interpolation */ 當(dāng)精確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn) x0 … xn 處測得函數(shù)值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)， 由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函
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