【正文】 ?xxxx2010??????????xxxx? ?1xx ??)(0 x?????????????01021xxxx2101??????????xxxx)())(21( 201 xlxl ???即 將以上結果代入 多項式插值 Hermite插值 Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 Hermite插值 )()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????得兩個節(jié)點的三次 Hermite插值公式 )()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????)())(21( 2101 xlxly ???)()( 2022 xlxxy ???? )()( 2111 xlxxy ????)())(21( 2022 xlxly ???????????????1011 21 xxxxy2010??????????xxxx? ?00 xxy ??? 2101??????????xxxx2010??????????xxxx? ?11 xxy ???????????????0100 21 xxxxy2101??????????xxxxComputational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 Hermite插值的插值余項 兩點三次 Hermite插值的余項為 )()()( 33 xHxfxR ??2120)4(3 )()(!4)()( xxxxfxR ??? ? 10 xx ?? ?【 例 3】 1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(???????ffxfffxf處的導數(shù)值為，在節(jié)點處的函數(shù)值為，在節(jié)點已知.,)(,)( 處的函數(shù)值在及的兩點三次插值多項式求 ?xxfxfComputational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 Hermite插值的插值余項 【 解 】 : 2,110 ?? xx 3,2 10 ?? yy 1,0 10 ????? yy)()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????????????????1011 21 xxxxy2010??????????xxxx? ?00 xxy ??? 2101??????????xxxx2010??????????xxxx? ?11 xxy ???????????????0100 21 xxxxy2101??????????xxxxComputational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 ? ?)2(213 ??? x ? ?21?x? ?21?x? ?2?? x? ?)1(212 ??? x ? ?22?x)(3 xH917133 23 ????? xxx)(f )(3H? ?)(f )(3H? ?作為多項式插值 ,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象 ,因此，對有 n+1節(jié)點的插值問題，我們可以使用分段兩點三次 Hermite插值 。 Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 分段線性插值 x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn ( 1 ) ( ) , 0 , 1 , ,iix y i n? ??1( 2) ( ) [ , ]iix x x? ?在是線性函數(shù) 101 0101,()0,xxxxnx x xlxx x x??? ???? ?????11111111,( ) ,0 , [ , ] \ [ , ]iiiiiixxiixxxxi i ixxiix x xl x x x xa b x x????????????? ????? ? ?????11 101,()0,nnnxxnnxxnnx x xlxx x x??????? ???? ????? O1y0n1x?()nlxO1 x0x1n0()lxO1y0 1? 1i?()iComputational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 分段線性插值 0( ) ( )niiix y l x??? ?分段線性插值函數(shù)為： 余項估計為： 2| ( ) | | ( ) ( ) | 8hR x f x x M?? ? ?Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 分段線性插值 4 3 2 1 0 1 2 3 4101分段線性插值多項式 L1(x) 的圖像 上是連接各插值點的一條折線 , 如右圖 :y=sin(x)的插值逼近圖形變化。事實上，有人證明了 僅當 |x|≤ 時，才有 lim ( ) ( )NN L x g x?? ?而在此區(qū)間外， LN(x)是發(fā)散的。對于 N=2， 4， 6， … 作 Ln(x)，會得到如下圖所示的結果。理論上，當 N→∞ 時，在 [a， b]內(nèi)并不能保證 LN(x)處處收斂于 f(x)。 Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值的震蕩性質(zhì) 用 Lagrange 插值多項式 LN(x) 近似 f(x)(a≤x≤b) ，雖然隨著節(jié)點個數(shù)的增加， LN(x)的次數(shù) N 更大，多數(shù)情況下誤差 |RN(x)|會變小。 115【 解 】 0 1 20 1 2( ) , 1 0 0 , 1 2 1 , 1 4 4 ,1 0 , 1 1 , 1 2f x x x x xy y y? ? ? ?? ? ?設0 2 0 1122 0 1 20 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 2 1 ) ( 1 4 4 ) ( 1 0 0 ) ( 1 4 4 ) ( 1 0 0 ) ( 1 2 1 )1 0 1 1 1 22 1 4 4 2 1 ( 2 3 ) 4 4 2 3x x x x x x x xx x x xx y y yx x x x x x x x x x x xx x x x x x?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?2( 1 1 5 ) 1 1 5 ( 1 1 5 ) 1 0 .7 2 2 7 5 6f ?? ? ?222| ( 11 5 ) | | ( 11 5 ) ( 11 5 ) | 0. 16 31 25 10Rf ? ?? ? ? ?有幾位有效數(shù)字？ Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 多項式插值 n次插值 x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn y=f(x)函數(shù)表 ( xi 互不相同 ) 20 1 2() nnnx a a x a x a x? ? ? ? ? ?存在嗎？ 唯一嗎？ 如何構造？ Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 n次插值 存在性、唯一性 20 1 2() nnnx a a x a x a x? ? ? ? ? ?10 1 0 1 0 0 010 1 1..................nnnnnnn n n n n na a x a x a x ya a x a x a x y????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??記 001111 ,1nnnnnxxxxXxx????? ????A=(an， an1， … ， a0)T ， Y=(y0， y1， … ， yn)T 0d e t ( ) 0kjj k nX x x? ? ?? ? ?? 存在且唯一！ x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn Computational Methods 西南交通大學峨眉校區(qū)基礎課部 數(shù)學教研室 2022年 n次插值 插值多項式的構造 ? 方法一： L