【正文】 ??? ? ? ? ?142 2 1 0h ???得即進行分段三次埃爾米特插值時 ,應(yīng)取誤差不超過 104 。 對 01 na x x x b? ? ? ? ?求一個分段函數(shù) L(x), 使其滿足 : 即將區(qū)間 [a, b]分為小區(qū)間 [xi1, xi+1] (i=1,2, …,n ) 上頁 下頁 分段三次 Hermite插值 ( ), ( )( 0 , 1 , , ),i i i iy f x m f x i n?? ? ?已知 01 na x x x b? ? ? ? ?求一個分段函數(shù) H(x), 使其滿足 : (2) 在每個子區(qū)間 [xi, xi+1] 上， H(x)是次數(shù)不超過 3的 多項式 . 稱滿足上述條件的函數(shù) H(x)為 分段三次 Hermite插值 函數(shù) . ( 1 ) ( ) , ( ) ( 0 , 1 , , ),i i i iH x y H x m i n?? ? ?上頁 下頁 2211122111( ) [ 1 2 ]( ) [ 1 2 ]( )( )( ) ( )( )i i i iiii i i iiii i i ix x x x x x x xH x y yh h h hx x x xm x x m x xhh??????? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??221113322 11122( ) [ 1 2 ( )] ( ) [ 1 2 ( )] ( )( )( ) ( )( )iii i i iiii i i iyyH x x x x x x x x xhhmmx x x x x x x xhh??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 ( 0 , 1 , , 1 )i i ih x x i n?? ? ? ?或 [xi， xi+1]上 ( ), ( )( 0 , 1 , , ),i i i iy f x m f x i n?? ? ?得在每個子區(qū)間 由 上頁 下頁 分段三次埃爾米特插值在區(qū)間 [xi, xi+1]上的余項估計式 為 1( 4 )2214( 4 )1()( ) ( ) ( ) ( )4!m a x ( ) , [ , ]384 iiiiiiix x xff x H x x x x xhf x x x x??????? ? ? ???因此， 在插值區(qū)間 [a, b]上有余項 44( ) ( ) , [ , ]384hf x H x M x a b? ? ?( 4 )401m a x , m a x ( )ii n a x bh h M f x? ? ? ? ???上頁 下頁 例 3 構(gòu)造函數(shù) f(x)=lnx在 1≤x≤10上的數(shù)表 , 應(yīng)如何選取步長 h,才能使利用數(shù)表進行分段插值時誤差不超過 104 。(x) 1/22 1/24 解 231 2 1 1 4 4( ) 1 1 1 21 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 4xxHx ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?21 4 4 1 2 11 2 1 2 1 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 1xx??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?21 1 2 1 1 4 42 2 1 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 4xx??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?21 1 4 4 1 2 12 4 1 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 1xx??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?上頁 下頁 得 31 2 5 ( 1 2 5 ) 1 1 . 1 8 0 3 5H??由 2/7)4( 16 15)( xxf ??可求得 223 32315 1( 12 5 ) 4 1938 4 1615 190. 00 00 1238 4 12 1 11R?????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?223 3322221 1 1 2( ) 2 2 1 9 1 4 4 2 6 5 2 1 2 12 3 2 3111 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 12 2 2 3 2 4 2 3H x x x x xx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???上頁 下頁 分段低次插值 先看下面的例子 對 ?(x)=(1+25x2)1,在區(qū)間 [1,1]上取等距節(jié)點 xi=1+ih, i=0,1,…,10, h=,作 ?(x)關(guān)于節(jié)點 xi(i=0,1,…,10) 的 10次插值多項式 L10(x), 如圖所示 上頁 下頁 x y o 1 1 1 2251 1??yy=L10(x) 這個現(xiàn)象被稱為 Runge現(xiàn)象 . 表明高次插值的不穩(wěn)定性 . 實際上 , 很少采用高于 7次的插值多項式 . 上頁 下頁 分段線性插值 01( )( 0 , 1 , . . . , ),i i ny f x i n a x x x b? ? ? ? ? ? ?已 知求一個分段函數(shù) P(x), 使其滿足 : (1) P(xi)=yi (i=0,1, ..., n)。 法 1822 1901 埃爾米特 (Hermite)插值 上頁 下頁 構(gòu)造三次埃爾米特插值多項式如下 : 定理 3 滿足條件式 的三次埃爾米特插值多項式存在且唯一。 ))((2 8 0 )(1 1 6 1 0 7 )(2??????xxxxN解 由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為 上頁 下頁 6 3 2 0 1 )5 9 ()5 9 ( 2 ?? Nf又 1 9 7 ],[ 3210 ?xxxxf可得過前四點的三次牛頓插值多項式 ))()((1 9 7 )()( 23 ????? xxxxNxN故 6 3 1 9 1 4 )5 9 ()5 9 ( 3 ?? Nf故))((2 8 0 )(1 1 6 1 0 7 )(2??????xxxxN))()()((0 3 4 )(3 ????? xxxxxR可得 N3(x)的截斷誤差 63 )( ???R],[ 40 ?xxf ?上頁 下頁 設(shè)函數(shù) y=f(x)在 等距節(jié)點 xi=x0+ih (i=0,1, …, n)上的函數(shù)值為 fi=f(xi)(h為 步長 ) 定義 2 ? fi=fi+1fi 和 ?fi=fifi1 分別稱為函數(shù) f(x)在點 xi處的 一階向前差分 和 一階向后差分 。 上頁 下頁 由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式 是等價的 ,即 Ln(x) ?Nn(x) 且有如下 遞推形式 )()](,[)()( 1001 ?? ???? nnnn xxxxxxfxNxN ??和 余項公式 )()](,[)( 010 nnn xxxxxxxxfxR ??? ??)()()!1( )( 0)1(nnxxxxnf ???????由此即得性質(zhì) 4。8 !, f [1,2, …,9]= 6, f (9)(x)=0, f [1,2, …,10]=0. 上頁 下頁 牛頓插值多項式 設(shè) x是 [a， b]上一點，由一階均差定義得 )](,[)()( 000 xxxxfxfxf ???同理，由二階均差定義 )](,[],[],[ 110100 xxxxxfxxfxxf ???如此繼續(xù)下去，可得一系列等式 000)()(],[xxxfxfxxf???110010],[],[],[xxxxfxxfxxxf???得 得 上頁 下頁 0 1 0 1 0[ , , , ] [ , , , ] [ , , , ]( )n n n nf x x x f x x x f x x x x x? ? ? ?)](,[)()( 000 xxxxfxfxf ???)](,[],[],[ 110100 xxxxxfxxfxxf ???)](,[],[],[ 221021010 xxxxxxfxxxfxxxf ????依次把后式代入前式，最后得 0 0 00 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 0 1 2( ) ( ) [ , ]( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , , ]( )( )( )f x f x f x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?上頁 下頁 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 0 1 2( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , , ]( )( )( )( ) ( )nnf x f x f x x x x f x x x x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x xN x R x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 10 0 11( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , , ] ( ) ( )( ) [ , , , ] ( )nnnnkkkN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x xf x f x x x x???? ? ? ? ? ?? ? ??? ?其中 0 0 101( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )[ , , , ] ( )n n nnnR x f x x x x x x x x xf x x x x? ?? ? ? ??上頁 下頁 ( ) ( ) ( )nnf x N x R x??可見 , Nn(x)為次數(shù)不超過 n 的多項式 ,且易知 Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …, n) 滿足插值條件 , 故其為插值問題的解 , Nn(x)稱為 牛頓插值多項式 。 上頁 下頁 性質(zhì) 2 由性質(zhì) 1立刻得到 或 11202010],[],[],[???????nnnnnnn xxxxxfxxxfxxxf ???01021102110],[],[],[],[xxxxxfxxxfxxxxfxxxfnnnnn?????????上頁 下頁 性質(zhì) 3 n次多項式 f(x)的 k階 差商 ,當(dāng) k?n時是一個 nk次多 項式 。 差商的計算步驟與結(jié)果可列成 均差表 ，如下 一般 f(xi) 稱為 f(x) 在 xi點的 零階均差 ，記作 f[xi]。其中： )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?????????niinnn xxnfxLxfxR0)1()()!1( )()()()( ?上頁 下頁 )4(,)(,)2( 210 ?????? fyfyfy))(()4)(2()42)(()4)(()(2 ???????????? xxxxxL))(24())(2(?????? xx 2 ??? xx,1)( xxf ? ，節(jié)點 4,2 210 ??? xxx )( xf求的拋物插值多項式 ,且計算 f (3)的近似值并估計誤差 。