計(jì)算方法-數(shù)值積分-插值型積分-文庫(kù)吧資料
2025-08-11 17:03本頁(yè)面
【正文】 體的 f(x)無(wú)關(guān) 例 4 試確定求積系數(shù) A, B, C，使得 ?? ????1 1 C f ( 1 )B f ( 0 )1)Af (f ( x) d x32CA0CA2CBA????????可驗(yàn)證，該公式對(duì)于 f(x)= x3 也成立 (意外收獲 )，而對(duì) x4 丌成立。 取 f(x)=x, ? ??????? ba 22 右b)(a2 ab)a(b21xdx左取 f(x)=x2 , 右)b(a2 ab)a(b31dxx左 ba22332 ??????? ?所以梯形公式只有 1次代數(shù)精度。 ( x) d xlAba kk ??其中 ))...))...))...))...nk1kk1kk0kn1k1k0k x(xx(xx(xx(xx(xx(xx(xx(x( x)l???????n0jjkjba k)(xlA( x) dxl(*) kn0jjkj A)(xlA ???(**) 重要結(jié)論： ? 梯形公式具有 1次代數(shù)精度； ? 辛卜生公式有 3次代數(shù)精度（ 同學(xué)們自己驗(yàn)證 ）。因而這時(shí)求積公式至少具有 n次代數(shù)精度。 mm2210 xaxaxaaf ( x ) ????? ?… abA A A n10 ????? ?在公式 ， 令 f(x)=1, x, x2, x3,…,xn 若求積公式（ ）的代數(shù)精度為 n，則其系數(shù) 應(yīng)滿足 : kA2abxAxAxA 22nn1100????? ???????1nabxAxAxA 1n1nnnnn11n00 ?????? ???… … … 其系數(shù) 矩陣 ????????????????nnn1n02n2120n10xxxxxxxxx111???????當(dāng) n),0 , 1 ,(kx k ??}{Ak互異時(shí)，有唯一解 … … … … … … 定理 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式 ????n0kkkba)f ( xAf ( x) dx為插值型求積公式 ??公式至少具有 n次代數(shù)精度 。 ? ??20 f ( 2 )f ( 0 )f ( x) d x? ?? ???20f ( 2 )4 f ( 1 )f ( 0 )31f ( x) dx梯形 公式 辛卜生 公式 同學(xué)們，自己驗(yàn)證 某求積公式能對(duì)多大次數(shù)的多項(xiàng)式 f(x)成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)。 ???????? ????????? ?????????? ????????? ????????? ????????? ??43x21x843412141/43x21x( x)l0???????? ????????? ??????????? ????????? ????????? ????????? ??43x41x1643214121/43x41x( x)l1???????? ????????? ?????????? ????????? ????????? ????????? ??21x41x821434143/21x41x( x)l2解：以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的 Lagrange插值基函數(shù)為 32dx43x21x8( x ) dxl 10100 ????????? ????????? ?? ??31dx43x41x16)(( x ) dxl 10101 ????????? ????????? ??? ??32dx21x41x8( x ) dxl 10102 ????????? ????????? ?? ????????????????????????????????????432f21f412f31f ( x ) dx10從而，得到插值型求積公式如下： 例 2 設(shè)積分區(qū)間 [a, b]為 [0, 2]，取 x432 e,x,x,xx,1,f ( x ) ?? ??20 f ( 2 )f ( 0 )f ( x) d x? ?? ???20f ( 2 )4 f ( 1 )f (
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