【正文】 }kT表示 的 m次加速值，則依遞推公式 ()可得 )(),2,1(14 114 4 )(1)1(1)( ?????? ??? kTTT kmmkmmmkm公式 ()也稱為 龍貝格求積算法 )21()41( )81( )161(21)()21( )41( )81(21)()21( )41(21)( )21(21)(321043210321021003210hhhhhhhhhhhhhhhhhhh??????????????????步長(zhǎng)T－數(shù)表 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 0 1 2 3 ?? 10 s in dxx xI 例 2 用龍貝格積分公式求 龍貝格積分值 R1= k 3T0T 2T1T 解： 由龍貝格公式得如下 T數(shù)表： 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 3. 算法設(shè)計(jì) nnn STT ???144 2nnn CSS ???144222nnn RCC ???144323Romberg 序列 ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2 = ) 1 ( 1 T ? C1 = ) 0 ( 2 T ? C2 = ) 1 ( 2 T ? S4 = ) 2 ( 1 T Romberg 算法 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 引言 求積公式 (1) 當(dāng)求積系數(shù) 、求積節(jié)點(diǎn) 都可以自由選取時(shí)，其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多少次 ? 下面的引理可以回答上述問(wèn)題。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 )(151 22 nnn SSSI ???同理，由復(fù)合辛普森公式的余項(xiàng) 可得 nC? nn SSI 1511516 2 ??由復(fù)合柯特斯公式的余項(xiàng) )(631 22 nnn CCCI ???nR?得 nn CCI 63163642 ??通稱為 龍貝格公式 ，是一種加速技術(shù) 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 一般的，若記 )()(0 hThT ? ，則有 )()2,1()(14 1)2(14 4)( 11 ?????? ?? mhThThT mmmmmm上述處理方法稱為 理查森外推加速法 通常，取 m≤3即可。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 等份分割為的積分區(qū)間將定積分 nbadxxfI ba ],[)(??, 0 , 1 , ,kx a k h k n? ? ?nabh ??各節(jié)點(diǎn)為 ])()([2101??????nkkkn xfxfhT復(fù)合梯形公式為 (1) 則不變等份，而分割為如果將 ,/)(2],[ nabhnba ??? ?1, ?kk xx 經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn) )(21121 ?? ?? kkk xxx第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 ?????? ???? )()(2)(4 121 kkk xfxfxfh(3) ??? ???10 212 )(221 nk knn xfhTT?? ?? ???????10 211102 )(2)]()([4nk kknkkn xfhxfxfhT(2) 用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為 這里 h仍為二分前的步長(zhǎng) .將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得 由 (1)(2)兩式可 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 (3)式稱為 遞推的梯形公式 遞推梯形公式加上一個(gè)控制精度 ,即可成為自動(dòng)選取步長(zhǎng)的復(fù)化梯形公式 優(yōu)點(diǎn)： 梯形法計(jì)算簡(jiǎn)單 缺點(diǎn)： 收斂慢，為了達(dá)到要求的精度，需要二分區(qū)間 多次，分點(diǎn)大量增加，計(jì)算量很大 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 2. 龍貝格算法 根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式可知 nTI ? ),(),(122 bafhab ?????? ??nTI 2? ),(),()2(122 bafhab ?????? ??假定 )()( ?? ff ????? ，則有 nnTITI?? 241?第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 nn TITI ??? 244)(31 22 nnn TTTI ???即 為的近似值的截?cái)嗾`差約作為因此 IT n2)(31 22 nnn TTTI ???nnnnn TTTTTT 3134)(31222 ?????nT2用積分近似值 的誤差作為 nT2的一種補(bǔ)償，得到 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 110 24 1 1( ( ) )3 2 2 3nnn jjbaI T T f x Tn????? ? ? ??110 21 4 ( ) ()36nn jjbaT f xn?????? ?11110 21 4 ( )[ ( ( ) ( ) 2 ( ) ] ( )3 2 6nnj jjjb a b af a f b f x f xnn???????? ? ? ???11110 2( ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ]6nnjn jjjba f a f b f x f x Sn??????? ? ? ? ???復(fù)合辛普森公式 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 也就是，相鄰的 兩個(gè)梯形值的外推 ， nnn TTS 31342 ??即 卻得到了 辛普森公式的值 。 3 龍貝格積分方法 復(fù)合梯形公式的遞推化 龍貝格算法 算法設(shè)計(jì) 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 梯形公式 ,Simpson公式 ,Cotes公式的代數(shù)精度分別為 1次 ,3次和 5次 復(fù)合梯形、復(fù)合 Simpson、復(fù)合 Cotes公式的收斂階分別為 2階、 4階和 6階 在代數(shù)精度和收斂速度方面 , 梯形公式都較差 但梯形公式形式簡(jiǎn)單、計(jì)算量小 有沒(méi)有辦法改善梯形公式呢 ? 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 1. 復(fù)合梯形公式的遞推化 由前面討論可知，加密節(jié)點(diǎn)可以提高求積公式的精度，復(fù)合求積方法對(duì)提高精度是行之有效的，但選擇合適的步長(zhǎng)（即 n的選?。┦莻€(gè)問(wèn)題。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 ||1,212, 12212 IIpIhhn ????? 和計(jì)算，取步長(zhǎng)折半 11 , Iabhn 計(jì)算，取 ???否則停止計(jì)算若 , 2II ??? ?||1,214,.2 24424 IIpIhhn ????? 和計(jì)算，取步長(zhǎng)折半否則停止計(jì)算若 , 4II ??? ?依此類推 kII 2, ??? 停止計(jì)算直到 ?以上這種方法稱為 自適應(yīng)求積法。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 逐次將區(qū)間 ［ a， b］ 分成 21， 22， ? ， 2m等份 ， 并按復(fù)合拋物線公式逐次計(jì)算積分得到S1， S2， ? ， Sm， 而 1212 2 1 2 20[ ( ) 4 ( ) ( )]3mmm k k kkhS f x f x f x? ????? ? ??其中 2m mbah ??第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 再把每個(gè)子區(qū)間分成兩半 ,用 2 1122mm mbahh????作步長(zhǎng) ,按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的近似值 S2m。 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 0 1 1 )( ii xfx876543210xxxxxxxxxTr apz42133212221112100.xxxxxxxxxSimp????243121141114302104100xxxxxxxxxCotes??????n=8 時(shí)的函數(shù)數(shù)據(jù)表 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 分別由復(fù)合梯形、辛普森、柯特斯公式得： 8T ])1()(2)0([161 71?????kk fxff9 4 5 6 9 0 8 ?4S )]1()(2)(4)0([241 3130 21 fxfxffkkk k???? ???? ?9 4 6 0 8 3 3 ?2C ?)]1(7)(14)](32)(12)(32[)0(7[180 11110 434241 fxfxfxfxffkkk kkk????? ???? ???9 4 6 0 8 3 0 ?第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 比較三個(gè)復(fù)合公式的計(jì)算結(jié)果： 8T9 4 5 6 9 0 8 ?4S 9 4 6 0 8 3 3 ?2C 9 4 6 0 8 3 0 ?積分的精確值為 ?? 10 s in dxx xI ??精度最高 精度最低 第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 3. 步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇 通常情況下 ,定積分的結(jié)果只要滿足所要求的精度即可 [ , ] na b n I而 區(qū) 間 分 割 的 區(qū) 間 數(shù) 越 大 ， 近 似 值 精 度 越 高n同 時(shí) 越 大 ， 運(yùn) 算 量 也 越 大,n但 太 小 運(yùn) 算 量 雖 較 小 但 精 度 可 能 又 達(dá) 不 到 要 求取多大值合理呢？那么 n第四章 數(shù)值積分與微分 《計(jì)算機(jī)數(shù)值方法》 在實(shí)際計(jì)算中，借助于計(jì)算機(jī)來(lái)完成積分步長(zhǎng) h 的