數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分-文庫吧資料
2024-09-05 01:55本頁面
【正文】 21)其中是與無關的常數(shù)。注意到每個子區(qū)間經過二分只增加了一個分點，用復化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為注意，這里代表二分前的步長，將每個子區(qū)間上的積分值相加得即 (420)這表明，將步長由縮小為時，等于的一半再加新增加節(jié)點處的函數(shù)值乘以當前步長。實際計算時，我們總是從某個步長出發(fā)計算近似值，若精度不夠可將步長逐次分半以提高近似值，直到求得滿足精度要求的近似值。故應取。因此若用復化梯形公式求積分，應等于41才能達到精度。為了利用余項公式估計誤差，要求的高階導數(shù)，由于所以有于是由復化梯形誤差公式(416)得由復化辛普森誤差公式(419)得例3 若用復化求積分公式計算積分的近似值，要求計算結果有四位有效數(shù)字，應取多大？解 因為當時，有于是要求計算結果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過。例2 根據(jù)函數(shù)表41表4101用復化梯形公式和復化辛普森公式計算的近似值，并估計誤差。 復化辛普森公式將區(qū)間劃分為等分，在每個區(qū)間上采用辛普森公式，記則得 (417)記 (418)稱為復化辛普森求積公式，其余項由(413)得于是當時，與復化梯形公式相似有 (419)可以看出誤差階是，收斂性是顯然的。事實上只要，則可得收斂性，因為由(415)得所以復化梯形公式(415)收斂。因此，實際中不采用高階NC公式，為提高計算精度，可考慮對被積函數(shù)用分段低次多項式插值，由此導出復化求積公式。但縮小步長等于增加節(jié)點數(shù)，亦即提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，這樣并不一定能提高精度。 □ 幾種低階求積公式的余項梯形求積公式的余項為由于在上不變號，利用積分中值定理有 (412)Simpson公式的余項為這里。證明 我們只要驗證，當為偶數(shù)時，NC公式對的余項為零。 偶階求積公式的代數(shù)精度作為插值型的求積公式，階的牛頓柯特斯公式至少具有次的代數(shù)精度。表4112345678從表41可看出，當時出現(xiàn)了負系數(shù)，實際計算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計。NC公式的截斷誤差為 (48)時 (49)為梯形公式時 (410)為辛普生公式。由的表達式可看出，它不但與被積函數(shù)無關，而且與積分區(qū)間也無關。將積分區(qū)間劃分為等分，步長，等距節(jié)點。若有正有負時，假設，且，有它表明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會引起計算結果誤差的增大，即計算可能不穩(wěn)定。 若
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