數(shù)值分析--第9章常微分方程數(shù)值解-文庫吧資料
2024-09-05 01:54本頁面
【正文】 了只考察數(shù)值方法本身，一般只檢驗(yàn)數(shù)值方法用于求解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為 (933)其中為復(fù)數(shù)。數(shù)值穩(wěn)定。式(932)中取，則歐拉公式的具體形式為。用歐拉法求解有 (932)若取，則歐拉公式的具體形式為同樣討論有初始誤差，則在的誤差是。它隨著的增大而增大，與所選的數(shù)值方法無關(guān)，是問題本身固有的特性。今設(shè)在的初值有誤差，實(shí)際求解的問題是 (931)它的準(zhǔn)確解是。當(dāng)時(shí)，為了滿足收斂性要求(929)，有時(shí)要很小，這樣步數(shù)就相當(dāng)多，這時(shí)誤差的累積可能是十分嚴(yán)重的，出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。如果條件(929)不滿足，則每步誤差將增大。由此再計(jì)算一步，得到把它與不考慮舍人誤差的Euler計(jì)算公式相減，并記，就有其中。我們以Euler方法為例進(jìn)行討論。而穩(wěn)定性則是討論舍人誤差的積累能否對(duì)計(jì)算結(jié)果有嚴(yán)重影響的問題。關(guān)于單步法收斂的一般結(jié)果是： 設(shè)增量函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，則單步法收斂的充分必要條件是相容性條件(928)。 設(shè)單步法(925)具有階精度，其增量函數(shù)關(guān)于滿足Lipschitz條件，問題(91)的初值是精確的，即，則單步法的整體截?cái)嗾`差為證明 由已知，關(guān)于滿足Lipschitz條件，故存在，使得對(duì)任意的及，都有記，因?yàn)閱尾椒ň哂须A精度，故存在，使得從而有反復(fù)遞推得因?yàn)?，即，又，于是所以推? 設(shè)單步法具有()階精度，增量函數(shù)在區(qū)域：上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，則單步法是收斂的。 我們稱為某數(shù)值方法的整體誤差。如果我們?nèi)∠植炕俣?，使用某單步法公式，從出發(fā)，一步一步地推算到處的近似值。由此即得各階RK方法與初值問題(91)相容。事實(shí)上，對(duì)Euler法，增量函數(shù)為自然滿足條件(928)，改進(jìn)Euler法的增量函數(shù)為因?yàn)檫B續(xù)，從而有所以Euler法和改進(jìn)Euler法均與初值問題(91)相容。滿足相容條件(928)是可以用單步法求解初值問題(91)的必要條件。因?yàn)楣视?927)得如果增量函數(shù)關(guān)于連續(xù)，則有 (928) 如果單步法的增量函數(shù)滿足條件(928)，則稱單步法(925)與初值問題(91)相容。這些轉(zhuǎn)化是否合理？即當(dāng)時(shí)，差分方程是否能無限逼近微分方程，差分方程的解是否能無限逼近微分方程初值問題的準(zhǔn)確解，這就是相容性與收斂性問題。這種計(jì)算過程中自動(dòng)選擇步長(zhǎng)的方法，叫變步長(zhǎng)方法。這時(shí)上一次的步長(zhǎng)就是合適的步長(zhǎng)，上一次計(jì)算所得的結(jié)果，就是合乎精度要求的；如果，則反復(fù)折半步長(zhǎng)，直到為止。變步長(zhǎng)的RK方法與數(shù)值積分做法相同，可以從的值來選擇合適的步長(zhǎng)，從而得到合乎精度要求的。設(shè)用階方法計(jì)算，記從出發(fā)，以步長(zhǎng)計(jì)算一步所得的近似值，以步長(zhǎng)計(jì)算兩步得的近似值。 變步長(zhǎng)的RK方法若問題(91)的解函數(shù)變化是不均勻的，用等步長(zhǎng)求數(shù)值解，則可能產(chǎn)生有些點(diǎn)處精度過高，有些點(diǎn)處精度過低的情況，為保證一定的精度，必須取較小的步長(zhǎng)。3）當(dāng)時(shí)，RK公式的最高階數(shù)恰是，當(dāng)時(shí)，RK公式的最高階數(shù)不是，如時(shí)，RK公式的最高階數(shù)仍為4，時(shí)，RK公式的最高階數(shù)仍為5。如果解的光滑性較差，則用四階RK方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而比改進(jìn)Euler法的差。2）RK方法的導(dǎo)出基于Taylor展開，故它要求問題的解具有較高的光滑度。就計(jì)算量來說，雖然Euler法、改進(jìn)Euler法每步只需計(jì)算一個(gè)或二個(gè)函數(shù)值，而四階RK方法每步需計(jì)算四個(gè)函數(shù)值，但由于放大了步長(zhǎng)，計(jì)算量幾乎相同。(1) 輸入(2) 置(3) 計(jì)算輸出(4) 若，則置轉(zhuǎn)3；否則停機(jī)。這說明(914)至多是二階的方法。如果取，有，近似公式為 (919)這也是常用的二階公式，稱為中點(diǎn)公式。先展開，按照二元函數(shù)Taylor級(jí)數(shù)：，得 (915)為了敘述方便，把及其偏導(dǎo)數(shù)中的省略不寫，將式(915)代入(914)的第一式得再展開，注意到公式得于是，局部截?cái)嗾`差為 (916)要使式(916)的局部截?cái)嗾`差為，則應(yīng)要求的系數(shù)為零，于是有 (917)方程有4個(gè)未知數(shù)，3個(gè)方程，所以有無窮多組解，它的每組解代入式(914)得到的近似公式，局部截?cái)嗾`差均為，故這些方法統(tǒng)稱為二階方法。公式(913)叫做級(jí)顯式RungeKutta公式，簡(jiǎn)稱RK方法。均為常數(shù)?？梢栽O(shè)想，如果在上能多預(yù)測(cè)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，用它們的加權(quán)平均值替代，就有望得到具有較高精度的數(shù)值解公式，這就是RungeKutta法的基本思想。只要對(duì)平均斜率提供一種算法，公式(912)就給出一種數(shù)值解公式。計(jì)算公式是在處作Taylor展開式，注意到，有于是 (911)所以改進(jìn)Euler法是二階方法。即預(yù)測(cè)：校正：為了編制程序上機(jī)，將上式改寫成 (910)(1) 輸入，整數(shù)，初值(2) 置 輸出(3) 計(jì)算 輸出(4) 若，置，轉(zhuǎn)3；否則停機(jī)。具體地說，我們先用歐拉公式求得一個(gè)初步的近似值，稱之為預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)值的精度可能很差，再用梯形公式將它校正一次得，稱為校正值。 改進(jìn)的Euler法我們看到，雖然梯形方法提高了精度，但其算法復(fù)雜，在應(yīng)用迭代公式進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù)的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計(jì)算量很大。2）向后Euler法的截?cái)嗾`差。1）Euler法的截?cái)嗾`差假設(shè)問題的解充分光滑，且前步計(jì)算結(jié)果是精確的，即，于是Euler法的截?cái)嗾`差是
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