【正文】 1( ) ( ) ( ) 0 . ( 6 . 7 )bna p x x x d x??? ??上頁 下頁 證明 (必要性 ) 設(shè) p(x)∈ Hn, 則 p(x)?n+1(x)∈ H2n+1, 因此，如果 xk (k=0,1,2,?,n)是高斯點(diǎn)，則求積公式 ()對于 p(x)?n+1(x)精確成立，即有 因 ?n+1(xk)=0 (k=0,1,2,?,n)，故 ()式成立 . 1( ) ( ) ( )bna p x x x d x??? ?? 10( ) ( ) .nk k n kkA p x x? ??? (充分性 ) 對任意 f(x)∈ H2n+1, 用 ?n+1(x)去除 f(x), 則可表示成 1( ) ( ) ( ) ( ) .nf x p x x q x? ???上頁 下頁 其中， p(x)為商式， q(x)為余式， p(x),q(x)均為不超過n次的多項(xiàng)式，于是有 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .b b bna a ax f x d x x p x x d x x q x d x? ? ? ????? ? ?由 ()式有 1( ) ( ) ( ) 0 .bna x p x x d x?? ? ??于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 6 . 8)bbaax f x d x x q x d x?? ???由于 ()是插值型求積公式，故對 q(x)∈ Hn精確成立 ()()ba q x x d x? ??0( ) .nkkkA q x??上頁 下頁 再注意到在節(jié)點(diǎn)處 ωn+1(xk)=0 (k=0,1,2,?,n)，知道有等式 q(xk)= f(xk) (k=0,1,2,?,n)，從而由 ()式有 ( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x q x d x?? ???00( ) ( ) .nnk k k kkkA q x A f x??????可見積分公式 ()對一切次數(shù)不超過 2n+1的多項(xiàng)式均精確成立 . 因此 , xk(k=0,1,2,?,n)為 高斯點(diǎn) . 證畢 . 上頁 下頁 定理表明在 [a, b]上帶權(quán) ?(x)的 n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式 ()的高斯點(diǎn)，有了求積節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,?,n)，再利用 ()對 m=0,1,?,n成立，則得到一組關(guān)于求積系數(shù) Ak(k=0,1,?,n)的線性方程組 . 解此方程組則得 Ak(k=0,1,?,n). 也可直接由 xk(k=0,1,?,n)的插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù) Ak(k=0,1,?,n). ( ) ( ) ( 0 , 1 , , ) .bkk aA l x x d x k n????上頁 下頁 例 9 確定求積公式 10 0 1 10 ( ) d ( ) ( ) .x f x x A f x A f x???節(jié)點(diǎn) x0, x1及系數(shù) A0, A1，使它具有最高代數(shù)精度 . 解 具有最高代數(shù)精度的求積公式是高斯型求積公式，其節(jié)點(diǎn)為關(guān)于權(quán)函數(shù) ?(x)= x1/2的正交多項(xiàng)式零點(diǎn) x0及 x1，設(shè) 201( ) ( ) ( )x x x x x x 。故類似于求 ()式的余項(xiàng)可得到 柯特斯公式的余項(xiàng) 為 6 ( 6 )2 ( )[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .6 )9 4 5 4b a b aR f f a b????? ? ?上頁 下頁 解 ： 由梯形公式得 221 0 . 6 1 1[ ] 0 . 2 4 7 0 5 8 82 1 0 . 6 1 1IT?? ? ? ???由辛普森公式得 2 2 21 0 . 6 1 1 1[ 4 ] 0 . 2 4 4 9 5 4 66 1 0 . 6 1 0 . 8 1 1IS?? ? ? ? ? ?? ? ? 例題 分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算積分 120 . 61 d1Ixx? ??上頁 下頁 由柯特斯公式得 11213217[90222 ??????????? CI22113 2 7 ] 0 . 2 4 4 9 7 8 71 0 . 9 1 1? ? ? ? ???積分的精確值 24 497 86 c t and1 111 2 ???? ? xxxI上頁 下頁 復(fù)合求積公式 從求積公式的余項(xiàng)的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，對函數(shù)光滑性的要求也越高 . 另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多 (n的增大 )，在使用牛頓 柯特斯公式時將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù) (當(dāng) n≥8時 , 牛頓 柯特斯求積系數(shù)會出現(xiàn)負(fù)數(shù) )，即牛頓 柯特斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過提高階的方法來提高求積精度 . 上頁 下頁 為了提高精度，通常在實(shí)際應(yīng)用中往往采用 將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式 (梯形公式或拋物形公式 )，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是 復(fù)合求積公式 的基本思想 . 為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實(shí)際問題的具體情況討論 . 上頁 下頁 將積分區(qū)間 [a, b]n等分 , 步長 n abh ?? xk=a+kh (k=0,1,…, n) , 則由定積分性質(zhì)知 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???, 分點(diǎn)為 每個子區(qū)間 上的積分 用 低階求積公式 , 然后把所有區(qū)間的 計(jì)算結(jié)果求和 ,就得到整個區(qū)間上積分 I的近似值。1d。 例 1 驗(yàn)證梯形公式 )]()([2d)( bfafabxxfI ba ???? ?具有一次代數(shù)精度。 上頁 下頁 由積分中值定理 , 對連續(xù)函數(shù) f(x), 在區(qū)間 [a, b]內(nèi)至少存在一點(diǎn) ?，使 ? ??? ba fabxxfI )()(d)( ?只要對平均高度 f(?) 提供一種 近似算法 , 便可相應(yīng)地獲得一種 數(shù)值求積方法 . 即所謂 矩形公式 . xyOa b? ?fx? ?f ??上頁 下頁 例如 , 用區(qū)間 [a, b]兩端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a)與 f(b)的算術(shù)平均值作為 f(?) 的近似值 , 可導(dǎo)出 求積公式 ( ) d [ ( ) ( ) ] ( 1 . 1 )2babaI f x x f a f b?? ? ??這便是人們所熟知的 梯形公式 . xyOa b? ?fx? ?fa? ?fb上頁 下頁 如果改用區(qū)間 [a, b]的中點(diǎn) c=(a?b)/2 處的函數(shù)值f(c)近似代替 f(?), 則又可導(dǎo)出所謂 (中 )矩形公式 ( ) d ( ) ( 1 . 2)2baabI f x x b a f ???? ? ??????xyOa b? ?fx2abf ???????2ab?上頁 下頁 一般地 , 在區(qū)間 [a, b]上適當(dāng)選取點(diǎn) xk (k=0,1,?,n), 然后用 f(xk) 的 加權(quán)平均值 作為 f(?) 的近似值 , 可得到更為 一般的求積公式 其中：點(diǎn) xk叫 求積節(jié)點(diǎn) , 系數(shù) Ak叫 求積系數(shù) . Ak僅與節(jié)點(diǎn) xk的選取有關(guān) , 而與被積函數(shù) f(x)無關(guān) . 求積公式的 截?cái)嗾`差 為 )(d)()(0kbankkn xfAxxfIIfR ? ?????? R(f) 又稱為 求積余項(xiàng) . 0( ) ( ) d ( ) ( 1 . 3 )nbk k nakI f f x x A f x I?? ? ??? 這類數(shù)值積分方法通常稱為 機(jī)械求積 ，其特點(diǎn)是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了牛 萊公式尋求原函數(shù)的困難 . 上頁 下頁 代數(shù)精度的概念 定義 1 如果求積公式 ? ???? bankkk xfAxxfI0)(d)((1) 對所有次數(shù)不超過 m的多項(xiàng)式都精確成立； (2) 至少對一個 m+1次多項(xiàng)式不精確成立， 則稱 該公式具有 m次代數(shù)精度 (或 代數(shù)精確度 ). 數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對“ 盡可能多 ”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念 . 上頁 下頁 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。上頁 下頁 第 4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 ? 數(shù)值積分概論 ? 牛頓 — 柯特斯公式 ? 復(fù)合求積公式 ? 龍貝格求積公式 ? 自適應(yīng)求積方法 ? 高斯求積公式 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分 本章基本內(nèi)容 上頁 下頁 進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會遇到被積函數(shù) f(x)的下列一些情況： 的原函數(shù) )()(d)( aFbFxxfI ba ??? ?對定積分 ?? ba xxfI d)( 的被積函數(shù) )(xf已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓 — 萊布尼茲公式 )(xF 數(shù)值積分概論 實(shí)際問題當(dāng)中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系 . 數(shù)值求積的基本思想 上頁 下頁 （ 4） f(x)本身沒有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測量數(shù)據(jù) . xxxexxf x s i ns i nln1)( 22 , , , ??（ 2） f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如 411)(xxf??（ 3） f(x)的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜，例如 cbxaxxf ??? 2)(（ 1） f(x)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如 上頁 下頁 以上的 4種情況都不能用牛頓 — 萊布尼茲公式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算問題；另外，對一些函數(shù)的求導(dǎo)問題，其求導(dǎo)、微分也相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算問題。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分的方法。 結(jié)論 一個求積公式具有 m次代數(shù)精度的 充要條件 是該求積公式 : (1) 對 xk(k=0,1,…,m )精確成立； (2) 對 xm+1不精確成立 . 故一般地，要驗(yàn)證一個求積公式具有 m次代數(shù)精度，只要令對于 f(x)=1, x, ?, xm求積公式精確成立等式就行 . 上頁 下頁 即對于求積公式 給定 n+1個互異的求積節(jié)點(diǎn) x0 , x1,?, xn1, xn , 令求積公式對 f(x)=1, x, ?, xn 精確成立 ,即得 01220 0 1 1110 0 1 12( 1. 4 )1nnnnnn n nnnA A A b abaA x A x A xbaA x A x A xn??? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ? ???求解該方程組即可確定求積系數(shù) Ak, 所得到的求積公式 至少具有 n 次代數(shù)精度 . nkbankk IxfAxxfI ??? ? ??)(d)(0上頁 下頁 解 當(dāng) f (x)=1時 , 1 d ,ba x b a? ? ??左[ 1 1 ] ,2ba ba?? ? ? ?右 此時公式精確成立。 當(dāng) f(x)=x時， ? ?221d 2ba x x b a? ? ??左22[]22b a b aab??? ? ?右公式也精確成立 . 當(dāng) f(x)= x2 時， ? ?2 3 31d 3ba x x b a? ? ??左22[ ],2ba ab???右公式對 x2不精確成立 . 故由定理 1知 , 梯形公式的代數(shù)精度為 1次 . 上頁 下頁 例 2 確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度 . )()()(d)( hfAfAhfAxxfI h h 102 2 1 0 ????? ?? ? 解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式兩端并令其相等，得 ??????