[理學]數(shù)值計算方法講稿-文庫吧資料
2024-10-22 21:14本頁面
【正文】 ( )2ff x f x f x x x x x?? ? ? ? ?? x *x39。39。 *111 0 ( 1 ) 1 0mma x a? ? ? ? ?*x11*110 .5 1 0 1 101 0 2mnnr maax?? ?? ???? ? ? ??* 1 1111( 1 ) 1 0 1 0 0 .5 1 02 ( 1 )m n m nrxa a??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??*x ? 數(shù)值計算中誤差的傳播： 對一元函數(shù)的計算 : 設 是 的近似值。 證畢 。2( 1 )nr a??????*x 證： 因 ，故當 有 n位有效 數(shù)字時， 。 * 12 10 mnx a a a?? ? ? *x( 1 )11 10 。 *x *12 10 mnx a a a?? ? ?*11 102mnxx? ??? ? ? ?* * 51 2 3 4 5 6 . 7 8 9 , 9 。 有效位數(shù)越多 ， （ 絕對 ） 誤差限越小 。 ? 例： 近似值準確到小數(shù)點后 五位 ， 有三位有效數(shù)字 。 *e x xxx?? *x re*rxxxx? ?? ??x *x ***re x xexx???r?2*2 *2** * *()() rxx xOxx xx x x x x?? ? ? ???????? ? ? ? ?????r?? 定義 : 如果近似值 的誤差限是 (某一位 數(shù)的半個單位 ), 則稱 準確到小數(shù)點后 n位 ,并從第一個 非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字 。 實際中 , 是未知的 ,可用 來代替 。 相對誤差是個相對數(shù) ,是無量綱的 ,也可正可負 。 即 ,稱 是近似值 的誤差限 , 即 。 誤差是有量綱的 ,可正可負 。 3誤差的基本概念 ? （ 絕對 ） 誤差與 （ 絕對 ） 誤差限 是精確值 , 是它的一個近似值 ,稱 是近似值的絕對誤差 。 數(shù)值穩(wěn)定，在運算過程中，舍入誤差不增大。假設計算過程中不產(chǎn)生新 的舍入誤差，則有 (n=0， 1， 2…… ) ＝＞ 誤差擴散。由積分估值 且由積分性質(zhì)知 可設計如下兩種算法： 10 5nnxI dxx???1 1 11 1 1110 0 0( 5 ) 5 15555n n n nnnnx x x xI d x x d x d x Ix x n? ? ?????? ? ? ? ???? ? ?110001 011 1 1 1m in ( ) m a x ( )6 ( 1 ) 5 5 5 ( 1 )nnnx xx d x I x d xn x x n?? ??? ? ? ?? ? ? ???? 算法 1：取 按公式 (n=0， 1， 2…… ) 依次計算 的近似值。測量誤差看作初始的舍入誤差 , 數(shù)值分析也要從整體來討論舍入誤差的影響 ,但這兒不討論模型誤差。 例： π、 1／ 3， …… 取小數(shù)點 8位、 16位。39。 ? 例： 對函數(shù) 用 Taylor展開，用多項式 近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差為 2 4 6 2( 1 )c o s 1 2 4 ! 6 ! ( 2 ) !nnx x x xx n?? ? ? ? ? ? ?x21 2x? cos x424x39。 : 在設計算法時 ,必然要近似處理 ,尋求一些簡化 。 1. 模型誤差
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