常用數(shù)值分析方法3插值法與曲線擬合-文庫吧資料
2025-05-23 03:12本頁面
【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ??擬合多項式 已知： n組試驗數(shù)據(jù)（ xi， yi）， i=1， 2， … ， n 求： 函數(shù)關(guān)系式 y=f(x) — 偏差 Ri = iRT m a x?盡可能最小 21niiDR?? ?盡可能最小 限制條件 (3個 ) 最小二乘法 )( im xp理論計算值（擬合函數(shù)值） 試驗測定值 iy函數(shù)的最佳一致逼近 概述 盡可能最小 1niiAR?? ? 05:20 2021/6/17 15/37 最小二乘技術(shù) 010100 1 12 2 2 0mjjinmjjj i iijkknmj k kj i i iijm n nj k kj i i ij i iaxDa x yaaa x y xa x y x???????? ? ?????????? ? ?????????????? ? ?????????? ? ? ???????????????? ? ?? ??? ?? ???????? ??? niimjjijnii yxaRD02002 最小 多元函數(shù)的極值問題 問題轉(zhuǎn)化 曲線擬合 0???kaD ( k = 0 , 1 , 2 , … , m ) 05:20 2021/6/17 16/37 0 1 1m n nj k kj i i ij i ia x y x?? ? ?????????? ? ??????????????????????????????mmmmmmmmmmmmmtasasasastasasasastasasasastasasasas???????221100222221210201121211101000202101000 skj tk ??mjja0= ( k = 0 , 1 , 2 , … , m ) 問題轉(zhuǎn)化 多元函數(shù)的極值問題 曲線擬合 解多元線性方程組 問題轉(zhuǎn)化 解方程組之前 ？ m 的確定 略 05:20 2021/6/17 17/37 多項式的次數(shù)（ m）的確定 初設(shè) m=1 擬合多項式 計算各節(jié)點(diǎn)偏差 Ri ??iRm a x合理，輸出結(jié)果 Yes No m=m+1 解 m 元 線性方程組 最小二乘法 ε為預(yù)先選定的一個足夠小的正數(shù) 05:20 2021/6/17 18/37 多項式擬合舉例 例 1 設(shè)在某材料的熱膨脹系數(shù)試驗中，測得一批數(shù)據(jù)如表 所示，希望用一簡單公式表示這些數(shù)據(jù)的關(guān)系。 （ 1）插值方法要求在給定的節(jié)點(diǎn)處 P(x) 與 f (x)相等（甚至導(dǎo)數(shù)值相等），因此在節(jié)點(diǎn)附近，逼近效果較好，而在遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)的地方，由 Runge現(xiàn)象 知道，有時效果會很差。 插值函數(shù)： y=p1(x) 近似直線 實際曲線 理論函數(shù)： y=f(x) )()( 1121211 xxxx yyyxp ??????直線方程： 21211212 yxxxxyxxxx ????????（變形） 插值基函數(shù) 22111 )()()( yxAyxAxp ????（插值多項式） A1(x) A2(x) 特點(diǎn)： A1(x1)=1， A1(x2)=0 A2(x1)=0， A2(x2)=1 05:20 2021/6/17 9/37 拋物線插值 已知： 三點(diǎn)（ x1， y1）、（ x2， y2）、（ x3， y3） 求： 其間任意 x 對應(yīng)的 y 值 y=f(x) y=p2(x) (x1, y1) (x3, y3) 圖 拋物線插值示意圖 y x (x2, y2) 插值函數(shù)： y=p2(x) 近似拋物線 實際曲線 理論函數(shù)： y=f(x) 插值基函數(shù)： ))(())(()(3121321 xxxx xxxxxA ?? ???))(())(()(3212312 xxxx xxxxxA ?? ???))(())(()(2313213 xxxx xxxxxA ?? ??? 3322112 )()()()( yxAyxAyxAxP ???插值多項式 05:20 2021/6/17 10/37 Lagrange插值的一般形式 已知： n點(diǎn)（ x1， y1）、（ x2， y2） …… （ xn， yn） 求： 其間任意 x 對應(yīng)的 y 值 ??? ??????????? nji
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