【正文】 R = . ?sin (40 176。 X=[pi/6 ,pi/4, pi/3]。 解 ：輸入程序 x=2*pi/9。 =，用拉格朗日及其誤差估計(jì)的 MATLAB函數(shù)求sin40 176。 =， sin45 176。 end R=M*q1/c1。 end s=p*Y(k)+s。 end q1=abs(q1*(zX(j)))。 c1=。 for k=1:n p=。 for i=1:m z=x(i)。 [C, L ,L1,l]= lagran1(X,Y) 運(yùn)行后輸出五次拉格朗日插值多項(xiàng)式 L及其系數(shù)向量 C，基函數(shù) l及其系數(shù)矩陣 L1如下 C = L =*x+*x^2+*x^3+*x^4*x^5 L1 = l = [ *x^5+*x^*x^*x^2+*] [ *x^*x^*x^3+*x^*x+] [ *x^5+*x^4+*x^*x^*x+] [ *x^*x^*x^3+*x^2+*] [ *x^5+*x^4+*x^*x^*x+] [ *x^5+ *x^*x^3+*x^2+*] 估計(jì)其誤差的公式為 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?,!665???=?? xxxxxxfxR五、拉格朗日插值及其誤差估計(jì)的 Matlab程序 function [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M) n=length(X)。 解 ：輸入程序 X=[ ]。L=Y*l return 新建一個(gè) ，將程序拷貝到文件中，并將文件保存到 matlab的工作目錄下，即可直接調(diào)用函數(shù)。 end end L1(k,:)=V。 for k=1: m V=1。 R3=M*abs((xX(1))*(xX(2)) *(xX(3)) *(xX(4)))/24 運(yùn)行后輸出誤差限為 R3 =91/2500*M 即 ? ? ? ? ? ?, 43 ?? ??fRsyms M為定義一個(gè)符號(hào)變量 M 四、拉格朗日多項(xiàng)式和基函數(shù)的 Matlab程序 求拉格朗日插值多項(xiàng)式和基函數(shù)的 MATLAB主程序如下 function [C, L,L1,l]=lagran1(X,Y) m=length(X)。 Y = polyval(P,x) 運(yùn)行后輸出插值多項(xiàng)式和插值為 L = x^3+4*x^24*x+1 Y =. 輸入程序 syms M。 p4=poly(X(4))。 p2=poly(X(2))。 Y =[17,1,2,17]。 R2=M*abs((xX(1))*(xX(2)) *(xX(3)))/6 運(yùn)行后輸出誤差限為 R2 =. ?cos (π/6)= … 三、 n次拉格朗日插值的 Matlab程序 例 *14給出節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) f()=， f()= ，f()=， f()= ，作三次拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算 f()，并估計(jì)其誤差。 Y = polyval(P,x) 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0 l11和 l21及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P、插值多項(xiàng)式 L和插值 Y為 l0 =228155022448185/281474976710656*x^22150310427208497/1125899906842624*x+1 l1 =228155022448185/140737488355328*x^2+5734161139222659/2251799813685248*x l2 =228155022448185/281474976710656*x^25734161139222659/9007199254740992*x P = L=6048313895780875/18014398509481984*x^27870612110600739/72057594037927936*x+1 Y = 輸入程序 M=1。 R1=M*abs((xX(1))*(xX(2)))/2 運(yùn)行后輸出誤差限為 R1 =. n=2輸入程序 X=0:pi/4:pi/2。 Y = polyval(P,x) 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P、插值多項(xiàng)式和插值為 l0 =5734161139222659/9007199254740992*x+1 l1 =5734161139222659/9007199254740992*x P = L =5734161139222659/9007199254740992*x+1 Y = 輸入程序 M=1。 R1=M*max(abs((xX(1)).*(xX(2))))./2 運(yùn)行后輸出誤差限為 R1 = . 點(diǎn)乘和點(diǎn)除表示向量對(duì)應(yīng)相乘和對(duì)應(yīng)相除 二、拋物線插值的 Matlab程序 例 *13求將區(qū)間 [0,π/2]分成 n等份（ n=1,2），用 y=f(x)=cos(x)產(chǎn)生 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別作線性插值函數(shù)和拋物線插值函數(shù)，并用它們分別計(jì)算 cos (π/6) (取四位有效數(shù)字 )，并估計(jì)其誤差 . 解： n=1輸入程序 X=[0,pi/2]。 Y =exp(X) , l01= poly(X(2))/( X(1) X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)X(1)), l0=poly2sym (l01), l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P), 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P和插值多項(xiàng)式 L為 l0 = x+1 l1 = x P = L =1423408956596761/2251799813685248*x+1 輸入程序 M=1。 Y = polyval(P,x) 運(yùn)行后輸出基函數(shù) l0和 l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量 P、插值多項(xiàng)式 L和插值 Y為 l0 = l1 = L = Y = 1/2*x+3/2 1/2*x1/2 1/2*x+1/2 一、線性插值的 Matlab程序 逗號(hào)會(huì)將本句程序的結(jié)果輸出到命令窗口，分號(hào)則不會(huì)輸出 輸入程序 M=5。Y=[1,2]。roots(C) 輸出結(jié)果為 ans = 數(shù)值解 輸入 poly(1:2) 輸出 ans = 1 3 2 輸入 roots(poly(1:2)) 輸出 ans = 2 1 1到 n的等差數(shù)列，其中 n=20 輸入 roots(poly(1:4)) 輸出 ans = 若常數(shù) a為矩陣 A的特征值，則返回 0 返回 n到 1的數(shù)值 例 *11已知函數(shù) f(x)在 [1,3]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， ，且滿足條件 f(1) =1， f(3)=2，求線性插值多項(xiàng)式和函數(shù)值 f()，并估計(jì)其誤差。A=[1 3]。A=[1 3]。B=[1 2]。y=poly2sym(c,’s’) ； 或者 c=[1 3]。 polyval(p,x) 結(jié)果為 ans = 86 162 262 把多項(xiàng)式的系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為符號(hào)多項(xiàng)式 如輸入程序 c=[1 3]。) ) 輸入程序 p = [3 2 1]。) 或 f2=poly2sym(C, sym (39。 ? ? 123 2 ??= xxxp(三 ) POLY2SYM 函數(shù) 調(diào)用格式一 ： poly2sym (C) 調(diào)用格式二 ： f1=poly2sym(C,39。輸入變量 p=[p0 p1 p2…pn] 是一個(gè)長(zhǎng)度為 n+1的向量，其元素為按降排列的多項(xiàng)式系數(shù)。 *1 拉格朗日插值的 Matlab實(shí)現(xiàn) 常用的幾個(gè)函數(shù) (一 ) POLY 函數(shù) 調(diào)用格式 ： Y = poly (V) (二 ) POLYVAL 函數(shù) 調(diào)用格式 ： Y = polyval(p,x) 返回矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)。 希望： 計(jì)算改變的過(guò)程中 ,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果 . 下面我們將看到 ,這是可能的。 計(jì)算機(jī)上 實(shí)現(xiàn) 也很 容易 . 也有一些 缺點(diǎn) ： 一是 計(jì)算量大 ，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)， 全部插值基函數(shù) 均要隨之 變化 ，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開(kāi)始：不僅原來(lái)的每一項(xiàng)都要改變，還要 增加一項(xiàng) 計(jì)算。 回顧 拉格朗日插值公式 ..)10(.出有牛頓插值公式形式，從而導(dǎo)項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的這一缺點(diǎn)，可把插值多為了克服的實(shí)際計(jì)算中是很不方便式也要發(fā)生變化，這在均要隨之變化，整個(gè)公，時(shí)，全部插值基函數(shù)但是，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加中非常方便結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析式，公式得到拉格朗日插值多項(xiàng)利用插值基函數(shù)很容易nklk?= 拉格朗日插值公式的優(yōu)缺點(diǎn) n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ? = = n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。 n = 2 23))(())((21))(())((21))(())(()(4363463464363646342 ? ?? ?? =?????????????????? xxxxxxxL) 18 5 ( 50 sin 2 0 ? ? ? L 2 3c os21。 解： 0x 1x 2x185500 ?=n = 1 分別利用 x0, x1 以及 x1, x2 計(jì)算 4,6 10?? == xx?利用 216/4/ 6/214/6/ 4/)(1 ???= ?? ??? ? xxxL這里 )3,6(,s i n)(,s i n)( )2( ????? ?== xxxfxxf而 )4)(6(!2 )()(,2 3s i n21 )2(1 ???? =?? xxfxR xx)185( 1 ?? ?R ?sin 50? = … ) 18 5 ( 50 sin 1 0 ? ? ? L 外推 (extrapolation ) 的實(shí)際誤差 ? 3,4 21 ?? == xx?利用 sin 50? ? , 185~ 1 ???????? ?R內(nèi)插 (interpolation ) 的實(shí)際誤差 ? 內(nèi)插通常優(yōu)于外推。 1)1( )( ?? ? nn Mxf?=? ? niin xxnM01 ||)!1(?當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式 時(shí)， , 可知 ，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) ? n 的 多項(xiàng)式是 精確 的。 ?=?= niin xxxpxLxP0)()()()()(xp?== niiin yxlxL0)()(設(shè)節(jié)點(diǎn) )1( ?nf 在 [a , b]內(nèi)存在 , 考察截?cái)嗾`差 )()()( xLxfxR nn =],[ baCf n?bxxxan ????? ?10，且 f 滿足條件 , Rolle’s Theorem: 若 充分光滑， ，則 存在 使得 。 考察 則 Qn 的階數(shù) ,)()()( xLxPxQnnn =? n 而 Qn 有 個(gè)不同的根 n + 1