【正文】 性質 2 例如，可用向前差分表示 ， knf ?所以 .0kjnjkn fjnf ?????????? ???（ ） knkn fEf ??可用各階差分表示函數值 . 因為 kn fI )( ??? ,][0kjnjfjn ?????????? ??59 性質 3 kkkkkkxxffxxf??????111 ],[kkkkkkkkkxxxxfxxfxxxf?????????212121 ],[],[],[,2 1 22 kfh ?? 例如，對向前差分， 均差與差分有密切關系 . 由定義 ,hfk??hhxfxfhxfxf kkkk2)()()()( 112 ???????60 同理，對向后差分有 ,1!1],[ 1 kmmmkkk fhmxxxf ???? ? 利用（ ）及均差與導數的關系又可得到 ),()( ?nnkn fhf ?? （ ） 其中 ， ),(nkk xx ???,1!1],[ kmmmkk fhmxxf ???? ).,2,1( nm ?? 一般地有 這就是差分與導數的關系 . （ ） （ ） 61 ???????4434222343133244043212233032122021100443322)()()()()()()()()()()()()()(ffffffffffffffffffffffffffk????????????????????????????? 3表2 計算差分可列差分表（見表 23），表中 為向前差 分， 為向后差分 . ??62 等距節(jié)點的 Newton插值公式 將牛頓均差插值多項式（ ）中各階均差用相應差 分代替，就可得到各種形式的等距節(jié)點插值公式 . .)()1()( 101??? ????? ?kjkjk hktttxx ?? 如果節(jié)點 ，要計算 附近點 ),1,0(0 nkkhxx k ???? 0x的函數 的值， x )(xf 這里只推導常用的前插與后插公式 . 于是 ,10,0 ???? tthxx可令 63 ????????? 02022 !2 )1()( fttftfthxN n,! )1()1( 0fn nttt n????? ?（ ） 將此式及均差與差分的關系代入牛頓插值公式，則得 ),()!1( )()1()( )1(1 ???? ??? nnn fhn ntttxR ? ).,( 0 nxx??（ ） 稱為 Newton前插公式 ， 由（ ）得余項 64 如果要表示 附近的函數值 ，也可使用牛頓插值 公式（ ），但為了降低誤差，插值點應按 的次序排列， nx )(xf01 , xxx nn ??)](,[)()( 1 nnnnn xxxxfxfxN ??? ?????? ??? ))(](,[ 121 nnnnn xxxxxxxf 作變換 ，并利用公式均差與向后差分 關系公式（ ）， 01, ????? tthxx n這時 ).()](,[ 101 xxxxxxxf nnn ??? ? ??得 65 稱其為 牛頓后插公式 ， )()()( thxNxfxR nnn ???),()!1( )()1( )1(1 ???? ??? nn fhn nttt ?（ ） 其中 ).,(0 nxx??????????? 02!2 )1()( fttftfthxN nnnn,! )1()1( nn fn nttt ????? ?（ ） 其余項 66 通常求開頭部分插值點附近函數值時使用牛頓前插 公式，求插值節(jié)點末尾附近函數值時使用牛頓后插公式 . 如果用相同節(jié)點進行插值，則向前向后兩種公式只 是形式上差別，其計算結果是相同的 . 67 為使用牛頓插值公式，先構造差分表（表 24） . 給出 在 xxf c o s)( ? ,6,1,0, ??? hkkhx k ?處的函數值，試用 4次等距節(jié)點插值公式計算 及 )(f例 5 )(f 的近似值并估計誤差 . 解 根據題意，插值條件為 )(kkxfx 由于 接近 ，所以應用牛頓向前插值公式計算 ?x0x)(f 的近似值 . 68 825 052 008 000 000 000 000 000 000 000 009 005 000 )()()()()()(55443322????????????????????????ffffffffffxfk42表(注意：表中帶下劃線的數據為 點的各階向前差分，雙下劃線為 點的各階向后差分 .) 0x6x69 取 , ?? hx)(4N?)(2 ))(( ????則 , ????? h xxt用表 24上半部的各階向前差分，得 o s)( ?f)0 0 5 0 ( 0 0 0 ????)0 00 1 )()()((!31 ???)00 0 )()()()((!41 ????70 由余項公式（ ）得誤差估計 554 )4)(3)(2)(1(!5)( htttttMR ?????,105 8 4 7???其中 .5 6 in5 ??M71 20 0 87 )((0 5 22 [ 2 53 )(4?????N))]2400 00 04 )(( ???于是 .8 4 4 0 6 ?,?x , ?x 計算 應使用牛頓向后插值公式， )(f.?用差分表 24中下半部的各階向后差分，得 , ???? h xxt這里 ,?h72 . ?M其中 555 )4)(3)(2)(1(!5)( htttttMR ?????,107 0 6 7???由余項公式 （ ）得誤差估計 。 若 在 上存在 階導數，且節(jié)點 )(xf ],[ ba n