【正文】 ()( kkkbxa hoxSxf ??? ??2,1,0?k小結 曲線擬合 當函數(shù)只在 有限點集 上給定 函數(shù)值 ，要在包含該點擊的區(qū)間上 用公式給出 函數(shù)的 簡單表達式 ，這些都涉及到在區(qū)間 [a,b]上 用簡單函數(shù) 逼近 已知復雜函數(shù) 的問題，這就是函數(shù)逼近問題。( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )j j j jjjS x S x S x S xS x S x? ? ? ? ? ?? ? ?　 　( ) [ , ]( 1 , 2 , , 1 )jS x a bx j n? ? ?根 據(jù) 在 上 二 階 導 數(shù) 連 續(xù) 在 節(jié) 點 處 就 應 滿 足 連 續(xù) 性 條 件共 (n+1)+(3n3)=4n2個條件，因此還需要兩個條件才能確定 S(x) 可在區(qū)間端點 a,b上各加一個條件（邊界條件），具體要根據(jù)實際問題要求給定； 1. 已知兩端的一階導數(shù)值 00 )( fxS ??? nn fxS ??? )(2. 兩端的二階導數(shù)已知 00 )( fxS ????? ()nnS x f ???其特殊情況為 0( ) ( ) 0nS x S x?? ????3. 當 f(x)是 為周期的周期函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù)，這時邊界條件應滿足： 0nxx?39。 1[ , ]jjxx ?39。樣條本質(zhì)上是一段一段的 三次多項式 拼合而成的曲線 在拼接處 ,不僅函數(shù)是連續(xù)的 ,且一階和二階導數(shù)也是連續(xù)的 一、三次樣條插值函數(shù) 定義 1. 的一個分割為區(qū)間 ],[, 10 babxxxa n ?? ?:],[)( 上滿足條件在區(qū)間如果函數(shù) baxS],[)(,],[)(),(),()1( 2 baCxSbaxSxSxS ???? 即上連續(xù)都在區(qū)間上都是三次多項式在每個小區(qū)間 ],[)()2( 1?kk xxxS上的三次樣條函數(shù)為區(qū)間則稱 ],[)( baxS處的函數(shù)值為在節(jié)點如果函數(shù) nxxxxf ,)()3( 10 ?njyxf jj ,1,0,)( ???滿足而三次樣條函數(shù) )( xSnjyxS jj ,1,0,)( ???上的三次樣條插值函數(shù)在為則稱 ],[)()( baxfxS(1) 注： 三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于 S(x)自身光滑 ，不需要知道 f 的導數(shù)值（除了在 2個端點可能需要）；而 Hermite插值依賴于 f 在所有插值點的導數(shù)值。 它實際上是由分段三次曲線并接而成 ， 在連接點即樣點上要求二階導數(shù)連續(xù) ， 從數(shù)學上加以概括就得到數(shù)學 樣條 這一概念 。,. .., 000在 上利用兩點的 y 及 y’ 構造 3次 Hermite函數(shù) ],[ 1?ii xx導數(shù)一般不易得到。 ? 分段 Hermite插值 /* Hermite piecewise polynomials */ 給定 nnn yyyyxx ?? ,. ..,。取 211)(xxf ?? ),. . .,0(105 niinx i ???? 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 n 越大， 端點附近抖動 越大，稱為 Runge 現(xiàn)象 Ln(x) ? f (x) ? 分段 低次 插值 167。 167。 解： 設 ? ? ? n i ) ( ) ( ) ( ? 0 i i x h x h yi x H2n+1 ? ? n ? 0 i yi’ 其中 hi(xj) = ?ij , hi’(xj) = 0, (xj) = 0, ’(xj) = ?ij ? hi ? hi hi(x) 有根 x0 , …, xi , …, xn且都是 2重根 ? ? ) ( ) ( ) ( 2 x l B x A x h i i i i ? ? ?? ???ij jiji xxxxxl)()()(由余下條件 hi(xi) = 1 和 hi’(xi) = 0 可解 Ai 和 Bi ? )()])((21[)( 2 xlxxxlxh iiiii ???? (x) ? hi 有根 x0 , …, xn, 除了 xi 外都是 2重根 ? ? hi ) ( ) ( i i li2(x) x x C x ? ? ? hi 又 : ’(xi) = 1 ? Ci = 1 ? hi ) ( x ) ( i li2(x) x x ? ? 設 ],[,. . . 210 baCfbxxxa nn ?????? 則 20)22()()!22( )()( ?????? ??? ??? niixnn xxnfxR ?這樣的 Hermite 插值唯一 167。 其中 hi(xj) = ?ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1 ? h1 ? h1 ),())()(()()()( 221033 xxxxxxxKxPxfxR ?????? !4 )()( )4( xfxK ??與 Lagrange 分析完全類似 167。 與 h0(x) 完全類似。 模仿 Lagrange 多項式的思想，設 解： 首先， P 的階數(shù) = 3 ? ? ? 2 1 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ? 0 i i i x h x1 f ’ x h x f x P ? h0(x) 有根 x1, x2， 且 h0’(x1) = 0 ? x1 是重根。 167。 即：要求插值函數(shù) ? (x) 滿足 ? (xi) = f (xi), ?’ (xi) = f ’ (xi), …, ?(mi) (xi) = f (mi) (xi). 注： ? N 個條件可以確定 階多項式。 ????? niin xxxpxLxP0)()()()()(xp性質(zhì) 3 P32 練習 7 4 0 1 7 0 1 83 1 [ 2 , 2 , , 2 ] [ 2 , 2 , , 2 ]f x x x f f? ? ? ?已 知 ， 求 及()fx分 析 ： 本 題 是 一 個 多 項 式 ， 可 利 用 差 商 的 性 質(zhì)解 ： 由 差 商 與 導 數(shù) 之 間 的 關 系( 7 )0 1 7 ( ) 7 ![ 2 , 2 , , 2 ] 17 7 !ff ?? ? ?！( 8 )0 1 8 ( ) 0[ 2 , 2 , , 2 ] 08 8 !ff ?? ? ?！167。 ix149ix1231[ , ]iif x x ?21 0 33 33 341 .? ??32 0294 .? ??12[ , , ]i i if x x x??0 2 0 3 3 3 3 3 0 0 1 6 6 791.. .? ???7解： 從而得二階牛頓基本差商公式為 2 1 0 3 3 3 3 3 1 0 0 1 6 6 7 1 4( ) . ( ) . ( ) ( )P x x x x? ? ? ? ? ?2 7 2 6 9 9 9 2( ) . .P ?因此計算得 的近似值為 7二、代數(shù)插值多項式的存在 唯一性 上的代數(shù)插值多項式為在區(qū)間設函數(shù) ],[)( baxfy ?nnn xaxaxaaxP ????? ?2210)(且滿足 niyxP iin ,2,1,0)( ???(2) (3) 滿足線性方程組的系數(shù)即多項式 nn aaaaxP ,)( 210 ?00202022 yxaxaxaa nn ????? ?11212110 yxaxaxaa nn ????? ?nnnnnn yxaxaxaa ????? ?2210???????????(4) 上述方程組的系數(shù)行列式為 n+1階范德蒙行列式 nnnnnnxxxxxxxxxV????????212110200111? ? ??? ????10 1)(ninijij xxji xx ??0由 Cramer法則 ,線性方程組 (4)有唯一解 定理 1. nnn xaxaxaaxP ????? ?2210)(niyxP iin ,2,1,0)( ???),( jixx ji ??若插值節(jié)點 則滿足插值條件 的插值多項式 存在且唯一 . 注： 若不將多項式次數(shù)限制為 n ，則插值多項式 不唯一 。練習 1： 0101( ) , ( ) , ( ) ( ) ,( ) 12 ( ) ( 1 , ,( ) ( ) 0 ( 1 , ,0 , 1 , 2 , ,( 0 )( 1 ) 1nnjjkjkjk nnx l x l x l x x x x La g ra n g elxx l x x j nx x l x j njnlxx x x j n???? ? ???? ?? ? ??????012nkk=0nkk=0nkk=0nkk=0設 l 是 以 … … 為 節(jié) 點 的 插 值 基 函 數(shù)試 證 ： 1)　 　 　 　 )) 3) )　 　 　 　 4)，練習 2： 01( ) 1 , ( ) , , , nf x f x x x x?證 明 ： 對 則 以 為 插 值 節(jié) 點 的 n 次Lagrange 插 值 多 項 式 為00( ) ( ) ( ) ( )nnn k k kkkL x f x l x l x??????由 插 值 余 項 定 理 知11()( ) ( ) ( ) 0( 1 ) !nnnff x L x xn? ???? ? ??( ) ( )nL x f x?從 而0( ) 1nkklx????012 ) ( ) ( 1 , , ) , ( ) , , ,jnf x x j n f x x x xn L a g r a n g e??設 則 以 為 插 值 節(jié) 點的 次 插 值 多 項 式 為00( ) ( ) ( ) ( )nnjn k k k kkkL x f x l x x l x??????由 插 值 余 項 定 理11()( ) ( ) ( ) 0( 1 ) !nnnff x L x xn? ???? ? ??( ) ( )nL x f x?從 而( ) ( 1 , ,jjkx l x x j n? ? ??nkk=0　 )3) kxx j將 ( ) 按 二 次 項 式 展 開 , 得0( 1 )jj i j i ik j kix x C x x?????j( )代 入 左 端 , 得0 0 0( ) [ ( 1 ) ] ( )jnni i j i ik k j k kk k ix x l x C x x l x?? ? ???? ? ?j( )00( 1 ) ( )j ni i i j ij k kikC x x l x???????利 用 (2) 的 結 論 , 有00( ) ( 1 ) ( ) 0jni i i j i jk k jkix x l x C x x x x???? ? ? ? ??? j( )4 2 , , 2n） 當 j=1, 時 ， 由 （ ） 的 結 論 可 知0(0 ) 0jjkxx l x ????nkk=0111 ( ) ( ) ( 1 ) !nnj n f x x f x n??? ? ? ? ?當 時 ， 令 ， 有01( ) , , , nf x x x x以 為 插 值 節(jié) 點 的 n 次 Lagrange 插 值 多 項 式 為1( ) ( )nnkL x x l x?? ?nkk=0由 插 值 余 項 定 理 知111()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nff x L x x xn? ?????? ? ??1( ) ( ) ( )nnL x f x x? ?? ? ?1101( ) ( ) ( ) ( )