【正文】 處的函數(shù)值 分別為 ，稱 為 關于節(jié)點 的 一階差商 （平均變化率）。它使用比較靈活，增加插值 節(jié)點時，只是在原來的基礎上增加部分計算量，原來的計算 結果仍可繼續(xù)利用，節(jié)約了計算時間。從構造算法的 一般原則 來說，應設法 充分 利用已經(jīng)獲得和計算的數(shù)據(jù)信息 。公式中 i的取法 歸結為 ???????????????????????????????111111 ,11,3,2, ,1,3,2, ,1 ,1nkkkkkkkkxxnnkxxxxxxxknkxxxxxxxkxxi??167。 2 分段低次插值 ?分段拋物線插值 分段拋物線插值就是把區(qū)間 分成若干個子區(qū)間，在每個 子區(qū)間 上用拋物線去近似曲線，則 用 表示分段拋物線插值函數(shù) 有下列性質： (1) 在區(qū)間 上是連續(xù)函數(shù)； (2) ； (3)在每個子區(qū)間上 ， 是次數(shù)不超過二次的多項式 ],[ ba)1,2,1(],[ 11 ???? nixx ii ?)(x?11111111111111))(())(())(())(())(())(()(?????????????????????????????iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx?)(x?)(x?)(x? ],[ ba),2,1,0( )( niyx ii ????],[ 11 ?? ii xx167。 2 分段低次插值 在每個子區(qū)間 上可以表示為 從幾何上講，分段線性插值就是用一條過 n+1個點 的折線來近似表示 。 2 分段低次插值 ?分段線性插值 設在區(qū)間 上有節(jié)點 ，函數(shù) 在上述節(jié)點處的函數(shù)值為 ，連接相鄰 兩點 ，得到一條折線函數(shù) ，如果滿足： （ 1） 在區(qū)間 上連續(xù)； （ 2） ； （ 3） 在每個子區(qū)間 上是線性函數(shù)， 則稱折線函數(shù) 為 分段線性插值函數(shù) 。 2 分段低次插值 ?原因 ： (1)由拉格朗日插值多項式余項，當差值節(jié)點增加時， 的變化可能會很大，那么 可能很大；特別 是當插值節(jié)點比較分散、插值區(qū)間較大時， 也比較大， 這樣就造成了近似時的截斷誤差較大； (2)當 n增大時，拉格朗日插值多項式次數(shù)增加，計算量急劇 增大，這樣就加大了計算過程中的舍入誤差。分段低次插值的優(yōu)點是公式 簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且避免了 計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢。 所以當插值節(jié)點數(shù) n+1較大，特別是插值區(qū)間也較大時 ，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。但是，提高插值多項式的次數(shù)，插值多項式 會變得復雜，計算量加大。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 2,1,1 ??x ? ? 4,3,0 ??xf ? ?xf? ?xfy ?iixiy0 1 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 167。 已知函數(shù) 的觀察值如下： 試求其拉格朗日插值多項式。 解： 取 代入線性插值公式得 xe? 3,2,1?x?exxe?1 2 3 ,3,2 10 ??? xxx1 2 6 7 8 0 4 6 0 4 9 7 8 7 0 6 231 3 5 3 3 5 2 8 32 )( 101001011??????????????? yxxxxyxxxxL167。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 例： 已知 在點 的值由下表給出。 代數(shù)多項式是任意光滑的，原則上只適用于逼近光滑性 好的函數(shù)。根據(jù)余項定理，外推是不可靠的。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 由于余項中含有因式 如果插值點 偏離插值節(jié)點 比較遠，則插值誤差會比較大。 x )(tF0)()()()( 10 ????? nxFxFxFxF ?)(tF ],[ 0 nxxnxxxx , 10 ?),( 0 nxx)!1()()()( )1()1( ???? ?? nxKtftF nn)(tF )(tF?)(tF? ),( 0 nxx167。 為了求得 ，對區(qū)間 上異于 的任意一點 ，作輔助函數(shù) ),2,1,0( )( nkyxL kkn ???),2,1,0( 0)( nkxR kn ??? nxxx ??? ?10)(xRn)()()( 1 xxKxR nn ?? ?)(xK x)(xK ],[ 0 nxx kx),2,1,0( nkxx k ???)()()()()( 1 txKtLtftF nn ???? ?167。 )(xf ],[ ba ),( ba)()( bfaf ? ),( ba?? 0)( ?? ?f)()( xf n ],[ 0 nxx )()1( xf n? ),( 0 nxxnxxx ??? ?10 )(xLn )(xf)()!1( )()()()( 1)1(xnfxLxfxR nnnn ?????? ??),( 0 nxx?? x )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??167。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 羅爾定理 ： 如果函數(shù) 在 上連續(xù)， 內可導，并 且 ，則至少存在一點 ，使得 。 當 時， 分別為 線性插值多項式 和 二次插值 多項式 。 )(xfy ? nxxx ??? ?10),1,0( )( nkxfy kk ??? )(xLn)(xLn),2,1,0( )( nkyxL kkn ???),2,1,0( )( nkxl k ??nxxx ??? ?10),2,1,0,( ,0 ,1)( nkiki kixl ik ????????167。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 由 得到 ，所以 xxf ?)( 2/52/383)(,41)( ?? ???????? xxfxxf32/31 1 ?? ????M52/52 ?? ????M)196175)(169175(!2)175( 11 ???? MR)196175)(169175)(144175(!3)175( 22 ????? MR167。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 例 ： 設 ，試分別應用線性插值和拋物線插值公式計算 的近似值（ …… ）。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 ?截斷誤差 與 截斷誤差限 如果 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內存在， 則用 去近似 的 截斷誤差 為 其中 ，并且依賴于 。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 同樣求得 所以 上式又稱為 的 二次拉格朗日插值多項式 。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 其中 都是二次多項式，且滿足 已知 ，即 是 的兩個零點，所以設 其中 為待定常數(shù)。 1 拉格朗日（ Lagrange）插值 設已知 在三個不同點 上的值分別為 ，做一個二次插值多項式 ，使其滿足插值條件 由于通過不在同一直線上的三點 可做一條拋物線，所以稱二次插值多項式 為 的 拋 物線插值函數(shù) 。 如果 ，則 截斷誤差限 是 )(xf? ],[ 10 xx )(xf ?? ),( 10 xx )(1 xL)()( ),()( 111001 xfxLxfxL ??],[ 10 xxx ?))((!2 )()()()( 1011 xxxxfxLxfxR ??????? ?),( 10 xx?? x1)(m a x 10 Mxfxxx ?????))((!2)( 1011 xxxxMxR ???167。 )(1 xL)()()( 11001 xlyxlyxL ??)()( ),()( 111001 xfxLxfxL ??)(),( 10 xlxl167。 )(1 xL101001011 )( yxxxxyxxxxxL??????01011010 )( ,)( xxxxxlxxxxxl??????)(),( 10 xlxl x)1,0,( ,0